代数系统：把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法描述、研究、推理，从而得到反映出他们共性的一些结论，在将结论运用到具体的代数系统中

系统：运算+研究对象
运算：具有的共同性质的不同演算抽取成一个运算，根据性质的不同取名群、环域等。
研究对象：可以运算的抽象对象
如：集合上的并满足结合律，实数上的加法也满足结合律，用一个符号代表具有结合律的运算，而研究对象变为代表实数或者集合等对象的抽象事物

所以代数系统定义为：非空集合和定义在集合上的封闭运算构成的系统

5. 代数系统

5.0 代数学

代数学：研究数的部分

几何学：研究形的部分

分析学：沟通数与性且设计极限运算的部分

代数：用字母代替具体的数值

发展历程

算数
初等代数
代数式的运算、方程
从简单的一元一次方程开始
讨论二元和三元的一次方程
研究二元以上及可以转换为二元的方程组
数与方程理论
- 无理数与有理数的界定
- 运算符号的创立与无理方程的解法
- 虚数理论
高等代数
- 线性代数：讨论任意多个未知数的一元方程组（线性方程组）
  费马与笛卡尔引入笛卡尔坐标系，统一了代数与集合，线性代数才出现
  仅涉及线性运算(加法和数乘)的代数学分支，以矩阵为研究工具，以向量空间和线性映射为研究对象
- 多项式代数：研究更高次的一元方程组
(19世纪以后)抽象代数

系统：将不同演算共有的性质抽取形成系统，根据抽取的性质取名群、环域等。
如：集合上的并有结合律，实数上的加法也有结合律，用一个符号代表具有结合律的运算，而研究对象变为代表实数或者集合等对象的抽象事物

所以代数系统定义为：抽象的研究对象集合和满足某种性质的运算构成的系统

具体应用：

伽罗瓦用置换群的方法证明一般形式的一元五次方程没有通解，给出了可解性的判别原则

格与布尔代数：用于电子线路设计、电子计算机硬件设计和通信系统设计

半群：形式语言，自动机理论

5.1 运算

5.1.1 运算的概念

二元运算：函数 $f:A\times A\rightarrow A$，则称f为A上的二元代数运算

如：

加法与乘法是在 $Z^+$ 上的二元代数运算，运算结果也是 $Z^+$ ，所以是封闭的
$f(<x,y>)=x+y,x\in Z^+,y\in Z^+,x+y\in Z^+$
减法不是 $Z^+$ 上的二元运算，因为 $x-y\notin^{?} Z^+$ ，所以是不封闭的
减法在Z上是二元运算，$x-y\in Z$ ，是封闭的

5.1.2 运算的性质

二元运算 $A\times A\rightarrow A$ 上的性质，以*为运算符

交换律

$\forall x,y\in A,有x*y=y*x，称 *满足交换律$

运算表关于主对角线对称

结合律

$\begin{aligned} \forall x,y,z\in A,有(x*y)*z=x*(y*z)，称*满足结合律 \end{aligned}$

分配律

$\forall x,y,z\in A,有\begin{cases} x*(y·z)=x*y·x*z\\ (y·z)*x=y*x·z*x \end{cases} ，则称*满足分配律$

幂等律

$\begin{aligned} &\forall x\in A,有x*x=x，则称*满足幂等律\\ &若\exists a\in A,且a*a=a，则称a是*的幂等元 \end{aligned}$

主对角线元素排列与表头顺序一直

吸收律

$\forall x,y \in A,有 \begin{cases} x*(x·y)=x\\ x·(x*y)=x \end{cases}, 则称*和·满足吸收律$

消去律

$若满足两个关系： \begin{cases} x*y=x*z(x\neq 0)，则y=z\\ y*x=z*x(x\neq 0)，则y=z \end{cases} ，*满足消去律$

Z上的加法、乘法满足消去律

幂集 $\rho(A)$ 上的 U 不满足消去律

$A\cup B=A\cup C \nRightarrow B=C$

5.1.3 表示方法

公式
运算表

5.2 代数系统

5.2.1 基本概念

代数系统：非空集合A和A上的k个封闭的运算 $f_1,f_2,…,f_k$ 组成的系统，称为一个代数系统，记作 $<A,f_1,f_2,...,f_k>$

如： $<R,+>,<R,*>,<\rho(A),\cup,\cap>$

子代数系统：设 $<A,*_1,*_2,...,*_k>$ 是代数系统，若 $B\subseteq A,B\neq ∅$ ，且运算 $*_1,*_2,...,*_k$ 对B是封闭的，则 $<B,*_1,*_2,...,*_k>$ 也是代数系统，称为 $<A,*_1,*_2,...,*_k>$ 的子代数系统

若 $B\subset A$，则称 $<B,*_1,*_2,...,*_k>$ 为真子代数系统

如：

$对<R,->： \begin{aligned} &<Z,->是<R,->的真子代数系统\\ &<N,->不是<R,->的真子代数系统 \end{aligned}$

5.2.2 特殊元

幺元零元

代数系统的幺元，零元 ，若存在必唯一

左幺元：设 $*$ 是S上的二元运算，$1_l$ 是S中的元素，如果对S中的每一元素x，有 $1_l*x=x$ ，则称 $1_l$ 是对运算 * 的左幺元
左零元：如果对于S中的每个元素x，有 $0_l*x=0_l$ ，则称 $0_l$ 对运算 * 是左零元

设 * 是S上的二元运算，1是S中的元素，对于S中的每个元素，满足 $1*x=x*1=x$ ，则1为对运算 * 的幺元。

如果对于S中的每一元素x，有 $0*x=x*0=0$ ，则称0对运算 * 是零元

在运算表中
- 幺元：所在的行与列的元素排列都与表头一致
- 零元：元素的行与列都有钙元素自身构成

逆元

某个元素的逆元

设 * 是S上的二元运算，1是对运算 * 的幺元。如果 x*y =1，那么关于运算 * ，x是y的左逆元，y是x的右逆元
如果 x*y=1和y*x=1都成立，则关于运算 *，x是y的逆元
x的逆元记作 $x^{-1}$ ，存在逆元的元素称为可逆的

5.3 含一个运算的代数系统

5.3.1 半群

设 $V=<S,*>$ 是代数系统，* 为一个二元运算符
若 * 是可结合的，则称V是半群

如：乘法，加法，关系的合成， $<\rho(A),\cup>,<\rho(A),\cap>$ 都是半群

幂等元：$\exists a\in S,使得 a^2=a$ 成立，则称a是幂等元素

定理：有限半群必有幂等元
连续幂等后根据封闭性，结果仍在集合中，所以一定存在幂等元

子半群

在非空子集上的运算是封闭的半群

独异点(含幺半群)

含幺半群=半群+幺元

半群V中 * 运算符含有幺元，则称V是含幺半群（独异点），记作 $<S,*,1>$

如：矩阵乘法

证明独异点

在R中定义二元运算 * ， $\forall a,b \in R,a*b=a+b+ab$ ，求证 $<R,*>$ 构成独异点

$\begin{aligned} 1.\quad &\forall a,b \in R,a*b=a+b+ab\in R,所以*是封闭的\\&即<R,*>是一个代数系统\\ 2.\quad &(a*b)*c=(a*b)+c+(a*b)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\\&=a+b+c+ab+ac+bc+abc\\ &c*(a*b)=c+(a*b)+c(a*b)=c+(a+b+ab)+c(a+b+ab)\\&=a+b+c+ab+ac+bc+abc\\ &所以 *是可结合的，故<R,*>是半群\\ 3.\quad &对0\in R,\forall x\in R,有0*x=x=x*0=x,所以0为幺元\\ &综上，<R,*>是独异点 \end{aligned}$

定理

x,y都有逆元，则 x*y 有逆元，且 $(x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}$

可交换半群=半群+满足交换律

若半群 $V=<S,*>$ 的运算符 * 是可交换的，V是可交换半群

定理

在可交换半群 $<S,*>$ 中，有 $(a*b)^n=a^n*b^n$ ，其中n是正整数, $a,b\in S$

独异点 $<S,*,1>$ 中的 * 是可交换的，称V是可交换独异点

循环半群=半群+生成元

5.3.2 群

群=含幺半群+每个元素有逆元

设 $V=<S,*>$ 是代数系统，* 是二元运算
若 * 是可结合的，存在幺元 $\exists 1 \in S$ ，且 $\forall x\in S,有x^{-1}\in S$ ，称V为群

如：

$\begin{aligned} &<N,+>满足结合律，所以是半群。幺元是0，所以是含幺半群。但是\\ &<N,+>不是群，每个元素的逆不在N中 \end{aligned}$

证明群的过程

设Z为整数集合，在Z上定义二元运算*，$\forall x,y\in Z$，x*y=x+y-2，为 $<Z,*>$ 是否为群

$\begin{aligned} 1.\quad &\forall x,y\in Z,x*y=x+y-2\in Z,所以*是封闭的，即<Z,*>是代数系统\\ 2.\quad &\forall x,y,z\in Z \\ &(x*y)*z=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4\\ &x*(y*z)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4\\ &即*是可结合的，所以<Z,*>是半群\\ 3.\quad &设p是幺元，p*x=p=p+x-2=x\Rightarrow p=2\\ &故半群<R,*>是独异点，幺元为2\\ 4.\quad &x*x^{-1}=2\iff x+x^{-1}=4\Rightarrow x^{-1}=4-x\in Z\\ &故<R,*>是群 \end{aligned}$

有限群&无限群

设 $<G,*>$ 是一个群

如果G是有限集，则称 $<G,*>$ 是有限群，G中的元素个数称为群的阶，记为 $\mid G \mid$
G是无限集，则为无限群，群的阶为无限

群的基本性质

二阶以上的群无零元

一阶群一定有零元，零元即幺元， $<{g},*>$ g*g=g，所以g是零元

群中每个元素都存在唯一逆元

群中除幺元外无幂等元

群的运算表中，没有两行或两列是相同的

群满足消去律

满足消去律的有限半群是群

没有零元的有限半群是群

子群

设 $<G,*>$ 为群，$H\subseteq G$，且 $<H,*>$ 为群，则称H为G的子群，记作 $H\le G$

子群判定定理

设 $<G,*>$ 为群，H是G的非空子集

$\begin{aligned} <H,*>是<G,*>的非空子群 &\iff \begin{cases} 封闭：\forall a,b\in H,有a*b\in H\\ 逆元：\forall a\in H,有a^{-1}\in H \end{cases}\\ &\iff \forall a,b\in H,有a*b^{-1}\in H\\ H是G的子集且H是有限集&\iff \forall a,b\in H,有a*b\in H \end{aligned}$

性质

子群的幺元是群的幺元，$\forall a\in H$ ，其逆元 $a_H^{-1}$ 就是a在G中的逆元 $a^{-1}$

二阶以上的群 $<G,*>$ 一定存在两个子群，称为G的平凡子群

由幺元组成的子群 $<{1},*>$ 称为G的幺子群，其中 1就是 $<G,*>$ 的幺元
$<G,*>$ 群本身
其余子群称为非平凡子群/真子群

交换群：满足交换律的群

若群 $V=<S,*>$ 中的 * 满足交换律，则称V是可交换的群（阿贝尔群）

循环群：有生成元的交换群

群中的每个元素都可用一个元素的方幂表示，则称这个群是循环群

群 $V=<G,*>$ 中，如果 $\exists g\in G$，对于每个元素 $a\in G$，都有一个相应的 $i\in I$ ，能把a表示成幂次 $g^i$ 的形式，则称 $<G,*>$ 是一个循环群。或循环群是由g生成的，g是 $<G,*>$ 的生成元

循环群的判别

证明： $<Z,+>$ 是循环群

$\begin{aligned} &1. \quad \forall a,b\in Z,a+b\in Z，故+是封闭的\\ & \quad <G,+>是一个代数系统\\ &2.\quad \forall a,b,c \in Z,(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\\ &\quad 所以<G,+>是半群\\ &3.\quad 设幺元为p,\forall x\in Z,p+x=x,则p=0\\ &\quad 幺元=0\\ &4. \quad \forall a\in Z,a+a^{-1}=0\Rightarrow a^{-1}=-a\in Z\\ &\quad 所以<G,+>是群\\ &5. \quad 设g=1，\forall n\in Z_+，n=1+1+...+1=1^{n}\\ &\quad \forall n\in Z_-,n=(-1)+(-1)+...+(-1)=(-1)^n=(1^{-1})^n\\ &故1是<G,*>的生成元，该群为循环群 \end{aligned}$

循环群的性质

生成元不唯一
群的阶：设 $$ 是一个由元素a生成的循环群，且是 有限群，如果G的阶是n，即 $\mid G \mid=n$ ,则 $a^n=1$ 且 $G=\{a,a^2,…,a^n=1\}$ ，n是元素 a 的阶(使得 $a^n=1$ 成立的最小正整数)
任意的循环群都是交换群

置换群

变换与变换群

变换：在A上的映射/函数

对称群 $<S_A,◇>$ ：非空集合A 上的全体 可逆变换(双射函数)的复合运算 构成集合的A的群
代数系统——封闭：集合A上的任意两个双射函数复合后仍在集合A中
半群——结合律：复合运算具有结合律
含幺半群——求幺元：恒等函数，自己到自己的变换
群——每个元素逆元都在群中：双射函数的逆元仍在集合中

对称群 $<S_A,◇>$ 的子群称为A的一个变换群

运算符号满足结合律，不满足交换律
每个群都同构于一个变换群

G是实数集R上所有变换 $f_{a,b}:R\rightarrow R$ 构成的集合，$\forall x\in R,f_{a,b}(x)=ax+b$ ， $<G,◇>$ G是变换群

置换

置换：在 有限集合 上的可逆变换（双射函数）

如：集合A={1,2,3,4,5}是有限集合，其上的一个可逆变换(可逆函数/双射函数)即为一个置换

若 $\mid A \mid=n$ ，则A上的置换有 n! 个。A上的所有置换的集合记为 $S_n$

置换群

n元有限集合A上的置换所构成的群，称为n元置换群；A上所有置换构成的群称为n次对称群
置换群是在 有限集合 上的变换群
n次对称群是n元置换群的特殊情况

以符号◇表示右合成运算：$p_1◇p_2$ 表示先进行 $p_1$ 置换，在进行$p_2$ 置换
$<S_n,◇>$ 表示对称群， $<\{p_1,p_2,...\},◇>$ 表示置换群
任何一个有限群都同构于一个置换群

置换群的几何意义

5.4 含两个运算的代数系统

5.4.1 环

具有两个二元运算的代数系统

设 $<R,+,*>$ 是代数系统，+,*为二元运算，若满足
$<R,+>$ 是可交换群
$<R,*>$ 是半群
*对+满足分配律
A*(B+C)=A*B+A*C
称 $<G,+,*>$ 为环

整环

若环 $<R,+,->$ 可交换，含幺元，无零元，称R为整环

对应可交换半群

除环

若环 $<R,+,->$ 至少存在两个元素，含幺元，无零元，且(逆元也在环中) $\forall a\in R(a\neq 0)$ 有 $a^{-1}\in R$ ，称R为除环

对应群

5.4.2 域

若环 $<R,+,->$ 既是整环又是除环，则称R是域

对应可交换群——阿贝尔群

5.5 格

设 $<S,\le>$ 是偏序集(自反，反对称，传递)，如果 $\forall x,y \in S$ ，{x,y} 都有最小上界和最大下界，称S关于 $\le$ 构成一个格，记为：
$格<S,\le>,格<S,∧,∨>$ ，
其中 ∨表示最小上界，∧表示最大下界

每个全序集都是一个格

5.5.1 格的判断

设 $<S_6,D>$ ，D表示整除，$S_n$ 表示整除n的因子集合

其中：

1∨2=2，,1∨3=3，1∨6=6，2∨3=6

1∧2=1，,1∧3=1，1∧6=1，2∧3=1

所以是格

对于 b,d 有最小上界 b∨d=c,e

对于 c,e 有最大下界 c∧e =b,d 但是无最小上界，c与e大小无法判断

所以不是格

3. $<\rho(B),\subseteq>$

$\forall x,y\in \rho(B),x∨y=x\cup y,x∧y=x\cap y$

所以是格

5.5.2 格的界

全界：
若格 $<L,∧,∨>$ 中 $\exists a$，对 $\forall b\in L$ ，有 $a\le b(b\le a)$ ，则称a为格L的全下界(全上界)

全下界a是L中的最小值，哈斯图的最底层一个元素。

全上界a是L中的最大值，哈斯图的最顶层一个元素

5.5.3 特殊的格

有界格

记为： $<L,∧,∨,0,1>$ 。界的位置与运算符号位置对应

有补格

每个元素都有补元，为有补格

补元

有界格 $<L,∧,∨,0,1>$ ，$\forall a\in L$ ，若 $\exists b\in L$ ，使 a∧b=0,a∨b=1，则称b是a的补元

如：

$<S_8,D>$ ，其哈斯图为：

1是全下界，8是全上界，即表示为格 $<S_8,D,∧,∨,1,8>$ 。

由于1∧8=1，1∨8=8，所以1和8互为补元

由于1∧2=1，1∨2=2；2∨4=4；2∨8=8，2∧8=2，所以2无补元，同理4无补元

所给哈斯图是格，a为全上界，d为全下界。a与d互为补元，b,c,e无补元

a为全上界，e为全下界，所以a与e互为补元

对于b,c，b∧c=e，b∨c=a，所以b与c互为补元

同理，c与d，b与d互为补元

有界有补分配格

格 $$ 是有补分配格，称L为布尔代数

有界格
有补格
求界可分配
∧对∨可分配
∨对∧可分配
0：全下界
1：全上界

如：

$<B,∧,∨,’,0,1>$ 是布尔代数

若a’是a的补元，则a∧a’=0,a∨a’=1

a∨0=a,a∧0=0,a∨1=a,a∧1=a

5.6 代数间的关系

用于研究两个代数系统间的联系

5.6.1 同构

两个代数系统 $A=<S,*,+,k>$ 和 $A'=<S',*',+',k'>$ ，其中*是二元运算，+是一元运算。若存在一个双射函数h，使
h: $S\rightarrow S’$
h(a*b)=h(a)*‘h(b)
h(+a)=+’h(a)
h(k)=k’
则将h为从A到A’的同构