3.矩阵函数

矩阵函数

3.1 常见泰勒解析函数

3.1.1 指数函数

引入参数

3.1.2 正弦级数

引入参数

3.1.3 余弦级数

引入参数

3.1.4 一些约定

a. A为0阵

b. 奇偶性

c. 单位阵

$e^{tI}=e^tI,sin(tI)=sin(t)I,cos(tI)=cos(t)I$

d. 转置穿脱

$(e^{A})^H=e^{A^H}$

e. H阵

$A^H=A,则 e^{iA}为U阵，即 (e^{iA})^H=(e^{iA})^{-1},或(e^{iA})^He^{iA}=I\\ A^H=-A,则 e^{A}为U阵，即 (e^{A})^H=(e^{A})^{-1},或(e^{A})^He^{A}=I$

3.2 欧拉公式

$e^x$ 与 $cosx$ 和 $sinx$ 的关系

$\begin{aligned} &e^{iA}=cosA+isinA,e^{-A}=cosA-isinA,i=\sqrt{-1}\\ &cosA=\frac{1}{2}(e^{iA}+e^{-iA}),sinA=\frac{1}{2i}(e^{iA}-e^{-iA}) \end{aligned}$

引入参数

$\begin{aligned} e^{itx}=cos(tx)+isin(tx),e^{-itx}=cos(tx)-isin(tx)\\ e^{itA}=cos(tA)+isin(tA),e^{-itA}=cos(tA)-isin(tA) \end{aligned}$

3.3 $e^A$

3.3.1 $e^A$ 性质

a. 交换公式

$若AB=BA可交换，则有交换公式e^A\cdot e^B=e^{A+B} =e^B\cdot e^A\\ 若AB\neq BA，则交换公式不成立$

若满足交换公式，则有

$\begin{aligned} &(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\\ &(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \end{aligned}$

$e^A\cdot e^{-A}=e^{-A}e^A=I$

b. 可逆公式

任一方阵 $A$ 都有 $e^A$ 可逆，且 $(e^A)^{-1}=e^{-A}$

引入参数

$(e^{tA})^{-1}=e^{-tA}$ ，且 $e^{tA}e^{-tA}=I$

eg：证明 $sin^2A+cos^2A=I$

$\begin{aligned} &由欧拉公式 cosA=\frac{1}{2}(e^{iA}+e^{-iA}),sinA=\frac{1}{2i}(e^{iA}-e^{-iA}),\\ &cos^2A=\frac{1}{4}(e^{2iA}+2e^{iA-iA}+e^{-2iA})=\frac{1}{4}(e^{2iA}+2e^0+e^{-2iA}),sin^2A=-\frac{1}{4}(e^{2iA}-2e^0+e^{-2iA})\\ &sin^2A+cos^2A=\frac{1}{2}e^0+\frac{1}{2}e^0=I \end{aligned}$

3.3.2 $e^A$ 特根公式

设方阵A特根 $\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ ，则 $e^A$ 特根为 $\lambda(e^A)=\{e^{\lambda_1},e^{\lambda_2},\cdots,e^{\lambda_n}\}$

3.3.3 $e^A$ 行列式

$\begin{aligned} &令n阶方阵A=(a_{ij})，则f(A)=e^A的行列式为：\\ &\vert e^A\vert=\prod e^{\lambda_i} = e^{\sum \lambda_i}=e^{tr(A)}\\ &由行列式可知 e^{tr(A)} \neq 0，所以e^A一定可逆 \end{aligned}$

3.3.4 一些特殊矩阵 $e^A$ 可求

a. 幂等阵

若 $A^2=A$ ，则有 $e^{tA}=I+(e^t-1)A$

第一列与第二列每个元素绝对值差1的，很有可能是幂等阵

$\begin{aligned} &A^2=\left( \begin{matrix} 1&0\\1&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\1&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&0\\1&0 \end{matrix} \right)=A,B^2=\left( \begin{matrix} 1&0\\-1&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\-1&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&0\\-1&0 \end{matrix} \right)=B为幂等阵\\ &可知 e^{tA}=I+tA+\frac{(tA)^2}{2!}+\frac{(tA)^3}{3!}+\cdots+\frac{(tA)^n}{n!}=I+[t+\frac{(t)^2}{2!}+\frac{(t)^3}{3!}+\cdots+\frac{(t)^n}{n!}]A\\ &=I+(e^t-1)A\\ &同理，可得e^{tB}=I+(e^t-1)B \end{aligned}$

$\begin{aligned} A^2=A,则e^A=I+(e^t-1)A=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)+(e^t-1)\left( \begin{matrix} 2&-2\\1&-1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} e^t-1&-2e^t+2\\e^t-1&2-e^t \end{matrix} \right) \end{aligned}$

b. 对角阵

对角阵 $D=\left(\begin{matrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{matrix}\right)$ ，则 $f(D)=\left(\begin{matrix}f(\lambda_1)&&\\&\ddots&\\&&f(\lambda_n)\end{matrix}\right)$

令函数 $f(x)=e^{tA}(t为参数)=\sum_{k=0}\limits^\infty\frac{(tx)^k}{k!}$ ,则 $f(D)=e^{tD}=\sum_{k=0}\limits^\infty\frac{(tD)^k}{k!}$

$\begin{aligned} &D=\left( \begin{matrix} \lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n \end{matrix} \right)，则e^{tD}=\left( \begin{matrix} e^{t\lambda_1}&&\\&\ddots&\\&&e^{t\lambda_n} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \because A+B=\left( \begin{matrix} 2&\\&0 \end{matrix} \right)为对角阵\Rightarrow e^{A+B}=\left( \begin{matrix} e^2&\\&e^0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} e^2&\\&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

c. 单阵(谱公式)

$A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k,且f(A)=f(\lambda_1)G_1+\cdots+f(\lambda_k)G_k,\\ 其中f(x)=c_0+c_1+x+\cdots+c_kx^k+\cdots$

$\begin{aligned} &计算可得\lambda(A)=\{i,-i\},A是单阵，对于任意解析函数f(x)有谱公式：f(A)=f(i)G_1+f(-i)G_2\\ &其中，G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{2i}\left( \begin{matrix} i&1\\-1&i \end{matrix} \right),G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=-\frac{1}{2i}\left( \begin{matrix} -i&1\\-1&-i \end{matrix} \right)=\frac{1}{2i}\left( \begin{matrix} i&-1\\1&i \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=e^{tx}，则f(i)=e^{ti},f(-i)=e^{^{-ti}}\\ &\therefore e^{tA}=e^{ti}G_1+e^{-ti}G_2=\frac{e^{ti}}{2i}\left( \begin{matrix} i&1\\-1&i \end{matrix} \right)+\frac{e^{-ti}}{2i}\left( \begin{matrix} i&-1\\1&i \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{e^{ti}+e^{-ti}}{2}&\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}\\ -\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}&\frac{e^{ti}+e^{-ti}}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &A是行和矩阵，故\lambda(A)=\{5,tr(A)-5\}=\{5,-2\},A有两个互异特征根，故A为单阵，有谱分解\\ &f(A)=f(5)G_1+f(-2)G_2,其中G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{7}\left( \begin{matrix} 3&4\\3&4 \end{matrix} \right),G_2=I-G_1=\frac{1}{7}\left( \begin{matrix} 4&-4\\-3&3 \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=e^{tx},则f(5)=e^{5t},f(-2)=e^{-2t}\\ &\therefore e^{tA}=e^{5t}G_1+e^{-2t}G_2=\frac{e^{5t}}{7}\left( \begin{matrix} 3&4\\3&4 \end{matrix} \right)+\frac{e^{-2t}}{7}\left( \begin{matrix} 4&-4\\-3&3 \end{matrix} \right)=\frac{1}{7}\left( \begin{matrix} 3e^{5t}+4e^{-2t}&4e^{5t}-4e^{-2t}\\ 3e^{5t}+4e^{-2t}&4e^{5t}-4e^{-2t}\\ \end{matrix} \right)\\ &\vert e^{tA}\vert=e^{tr(tA)}=e^{3t}\\ &(e^{(tA)})^{-1}=e^{-tA},即将t替换为-t即可,e^{-tA}=\frac{1}{7}\left( \begin{matrix} 3e^{-5t}+4e^{2t}&4e^{-5t}-4e^{2t}\\ 3e^{-5t}+4e^{2t}&4e^{-5t}-4e^{2t}\\ \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &通过特征方程\vert A-\lambda I\vert计算得\lambda(A)=\{-2,1,1\},且A-I=\left( \begin{matrix} 3&6&0\\-3&-6&0\\-3&-6&0 \end{matrix} \right),r(A-I)=3-2=1\\ &\therefore A为单阵，有谱分解 f(A)=f(1)G_1+f(-2)G_2\\ &令f(x)=e^{tx},f(1)=e^{t},f(-2)=e^{-2t},G_1=\frac{A-\lambda_2 I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{3}(A+2I)=\left( \begin{matrix} 2&2&0\\-1&-1&0\\-1&-2&1 \end{matrix} \right),G_2=I-G_1=\left( \begin{matrix} -1&-2&0\\1&2&0\\1&2&0 \end{matrix} \right)\\ &代入得e^{tA}=e^tG_1+e^{-2t}G_2=e^t\left( \begin{matrix} 2&2&0\\-1&-1&0\\-1&-2&1 \end{matrix} \right)+e^{-2t}\left( \begin{matrix} -1&-2&0\\1&2&0\\1&2&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2e^t-e^{-2t}&2e^t-2e^{-2t}&0\\ e^{-2t}-e^{-t}&2e^{-2t}-e^t&0\\ e^{-2t}-e^t&2e^{-2t}-2e^t&e^t \end{matrix} \right)\\ &令t=1，可得e^A=\left( \begin{matrix} 2e-e^{-2}&2e-2e^{-2}&0\\ e^{-2}-e^{-1}&2e^{-2}-e&0\\ e^{-2}-e&2e^{-2}-2e&e \end{matrix} \right)\\ &\vert e^A\vert = e^{tr(A)}=e^{0}=1 \end{aligned}$

d. 幂0阵(泰勒公式)

$A^k=0$ ，则 $A$ 为幂0阵

$\begin{aligned} &(1)\\ &A^2=\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right)=0,由幂等公式A^2=0，则\\ &e^{tA}=I+tA+\frac{A^2}{2!}+\cdots=I+tA+0+\cdots=I+tA=\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\\ &sin(tA)=tA-\frac{(tA)^3}{3!}+\cdots=tA=\left( \begin{matrix} t&-t\\t&-t \end{matrix} \right)\\ &cos(tA)=I-\frac{t^2A^2}{2!}=I=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)\\ &t=-t时，可得(e^{tA})^{-1}=e^{(-t)A}=\left( \begin{matrix} 1-t&t\\-t&1+t \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.3.5 常用 $e^{tA}$

$e^{t\left( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix} \right)\\ e^{t\left( \begin{matrix} 0&a\\-a&0 \end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix} cosat&sinat\\-sinat&cosat \end{matrix} \right)$

3.4 谱公式计算矩阵函数

3.4.1 前置知识

a. 根遗传公式

设 $n$ 阶方阵 $A$ 特根 $\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ ，则 $f(A)$ 的特根为 $\lambda(f(A))=\{f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)\}$ ，其中 $\lambda(f(A))=\{f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)\}$ 为任意多项式函数，满足 $f(A)=c_0I+c_1A+c_2A^2+\cdots+c_kA^k$

b. 0化式、特根与幂0阵

0化式：若多项式 $f(x)$ 使 $f(A)=0$ ,称 $f(x)$ 为 $A$ 的0化式

A的全体特根是任意0化式 $f(x)$ 的根 或 A的0化式 $f(x)$ 含有A的全体不同根
sp ：若 $A$ 为单阵，则0化式 $f(x)$ 不含重复根，即不含大于2的幂次项

$\begin{aligned} &设f(x)=(x-1)(x-2)，且有 (A-I)(A-2I)=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)=0,\\ &\therefore (x-1)(x-2)为A的0化式 \end{aligned}$

若 $A^k=0(k\ge 2)$ 为幂0阵，则A的全体特根为 $\lambda(A)=\{0,\cdots,0\}$

若 $(A-aI)^k=0(k\ge 2)$ 为平移幂0阵，则A的全体根为 $\lambda(A)=\{a,\cdots,a\}$

3.4.2 单阵谱公式

$单阵A有谱分解A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2+\cdots+\lambda_kG_k,且f(A)=f(\lambda_1)G_1+\cdots+f(\lambda_k)G_k$

3.4.3 广谱公式(非单阵2根2重)

$\begin{aligned} &若A满足(A-aI)^2(A-bI)=0,且a\neq b，即A有0化式(x-a)^2(x-b),则有广谱公式：\\ &f(A)=f(a)G_1+f(b)G_2+f'(a)D_1,其中G_1+G_2=I,D_1为固定矩阵 \end{aligned}$

$\begin{aligned} &解：\vert A-\lambda A\vert=\left | \begin{matrix} -1-\lambda & 0 &1\\1 & 2-\lambda &0\\-4&0&3-\lambda \end{matrix} \right |= (\lambda-1)^2(\lambda-2)=0\Rightarrow \lambda(A)=\{1,1,2\}\\ &由于(A-I)(A-2I)\neq 0,0化式有重根，所以A不是单阵\\ &或r(A-I)=r\left( \begin{matrix} -2&0&1\\1&1&0\\-4&0&2 \end{matrix} \right)=2\neq 3-2=1,\therefore A不是单阵\\ &\because (A-I)^2(A-I)=0,\therefore 对任一解析函数f(x)有广谱公式：\\ &f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1\\ &取不同的多项式求G_1,G_2,D_1\\ &\quad(1)令f(x)=(x-1)(x-2),f'(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3,有f(1)=f(2)=0,f'(1)=-1\\ &\quad \quad代入公式后得，(A-I)(A-2I)=-D_1\Rightarrow D_1=-\left( \begin{matrix} -2&0&1\\1&1&0\\-4&0&2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -3&0&1\\1&0&0\\-4&0&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -2&0&1\\2&0&-1\\-4&0&2 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)令f(x)=(x-1)^2,f(1)=0,f(2)=1,f'(x)=2(x-1),f'(1)=0\\ &\quad \quad(A-I)^2=G_2=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\-1&1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\quad \quad G_1=I-G_2=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\1&0&-1\\0&0&1 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)'若令f(x)=(x-2)^2,f(2)=f'(2)=0,f(1)=-1,可求G_1\\ &令f(x)=e^{tx},f'(x)=te^{tx},f(A)=e^{tA}=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1=e^tG_1+e^{2t}G_2+te^{t}D_1\\ &即e^{tA}=e^t\left( \begin{matrix} 1&0&0\\1&0&-1\\0&0&1 \end{matrix} \right)+e^{2t}\left( \begin{matrix} 0&0&0\\-1&1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)+te^t\left( \begin{matrix} -2&0&1\\2&0&-1\\-4&0&2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} e^t-2te^t&0&te^t\\e^t-e^{2t}+2te^t&e^{2t}&e^{2t}-e^t-te^t\\-4te^t&0&e^t+2te^t \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lambda(A)=\{1,1,2\},由于(A-I)(A-2I)\neq 0,\therefore A不是单阵，(A-I)^2(A-2I)=0\\ &有广谱公式 f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1\\ &取不同多项式求G_1,G_2,D_1\\ & \quad (1)令f(x)=(x-1)(x-2),f'(x)=(x-1)+(x-2),f(1)=f(2)=0,f'(1)=-1\\ &\quad \quad (A-I)(A-2I)=-D_1\Rightarrow D_1=-(A-I)(A-2I)=\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)令f(x)=(x-1)^2,f(1)=f'(1)=0,f(2)=1,代入解析式得：\\ &\quad \quad (A-I)^2=G_2=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right),G_1=I-G_2=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\therefore f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1=f(1)\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)+f(2)\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right)+f'(1)\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &f(x)=e^{tx},f(1)=e^t,f(2)=e^{2t},f'(1)=te^{t}\\ &可得e^{tA}=\left( \begin{matrix} e^t&te^t&\\&e^t&\\&&e^{2t} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.5 幂0与Taylor求解f(A)(最一般化求解)

若有 $A^k=0(k\ge 2)$ ，则 $f(x)$ 为任一解析式，则有
$\begin{aligned} f(A)=f(0)+f'(0)A+\frac{f''(0)}{2!}A^2+\cdots+\frac{f^{k-1}(0)}{(k-1)!}A^{k-1} \end{aligned}$

对于平移幂0阵 $(A-aI)^k=0(k\ge 2)$ ，$f(x)$ 为任一解析函数，则有公式 $f(A)=f(a)I+f’(a)(A-aI)+\frac{f’’(a)}{2!}(A-aI)^2+\cdots+\frac{f(a)^{k-1}}{(k-1)!}(A-aI)^{k-1}$

$\begin{aligned} &A为行和矩阵，\lambda(A)=\{0,tr(A)-0\}=\{0,0\},则(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)=A^2=0\\ &f(A)=f(0)I+f'(0)A\\ &令f(x)=e^{tx},则f(0)=1,f'(0)=t,\Rightarrow f(A)=I+tA=\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=cos(tx),则f(0)=1,f(0)=-tsin(tx)=0,\Rightarrow f(A)=I=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lambda(A)=\{2,2,2\},r(A-2I)=2\neq 3-3=0,A不是单阵，由Cayley公式，(x-2)^3=0\Rightarrow (A-2I)^3=0\\ &由幂0公式与泰勒公式，f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)+\frac{f''(2)}{2!}(A-2I)^2\\ &令f(x)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},f''(2)=t^{2}e^{2t}\\ &\quad \therefore e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)+\frac{t^2e^{2t}}{2}(A-2I)^2=e^{2t}\left[I+t\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)+\frac{t^2}{2}\left( \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\right]\\ &\quad \quad \quad =e^{2t}\left( \begin{matrix} 1&t&\frac{t^2}{2}\\0&1&t\\0&0&1 \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=sin(tx),f(2)=sin2t,f'(2)=tcos(2t),f''(2)=-t^2sin(2t)\\ &\quad \therefore sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A-2I)-t^2sin(2t)(A-2I)^2=\\ &\quad \quad \quad =sin(2t)\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&1\\0&0&1 \end{matrix} \right)+tcos(2t)\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)-t^2\left( \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} sin(2t)&tcos(2t)&-\frac{t^2}{2}sin(2t)\\ 0&sin(2t)&tcos(2t)\\ 0&0&sin(2t) \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &由特征方程计算得：\lambda(A)=\{2,2,2\},(A-2I)\neq 0,故A不是单阵，(A-2I)^2=0\\ &故可用泰勒求解矩阵函数，解析式为f(x)=f(2)+f'(2)(x-2),矩阵函数为f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)\\ &令f(x)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},f'(2)=t^2e^{2t}\\ &\quad \Rightarrow e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)=e^{2t}\left[I+t\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\right]=e^{2t}\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\t&1-t&t\\t&-t&1+t \end{matrix} \right]\\ &令f(x)=sin(tx),f(2)=sin(2t),f'(2)=tcos(2t)\\ &\quad \Rightarrow sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A-2I)=\left( \begin{matrix} sin(2t)&0&0\\0&sin(2t)&0\\0&0&sin(2t) \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0&0&0\\tcos(2t)&-tcos(2t)&tcos(2t)\\tcos(2t)&-tcos(2t)&tcos(2t) \end{matrix} \right)\\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad =\left( \begin{matrix} sin(2t)&0&0\\tcos(2t)&sin(2t)-tcos(2t)&tcos(2t)\\tcos(2t)&tcos(2t)&sin(2t)+tcos(2t) \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &A-I=\left( \begin{matrix} -2&-2&6\\-1&-1&3\\-1&-1&3 \end{matrix} \right)为秩1阵，可知\lambda(A-I)=\{0,0,0\},故\lambda(A)=\{1,1,1\},A-I\neq 0，故A不是单阵\\ &(A-I)^2=0,故可写解析函数f(x)=f(1)+f'(1)(x-1),矩阵函数为f(A)=f(1)I+f'(1)(A-I)\\ &令f(x)=e^{tx},f(1)=e^t,f'(t)=te^t\\ &\Rightarrow f(A)=f(1)I+f'(1)(A-I)=e^t\left[ I+t\left(\begin{matrix} -2&-2&6\\-1&-1&3\\-1&-1&3 \end{matrix} \right) \right]=e^t\left( \begin{matrix} 1-2t&-2t&6t\\-t&1-t&3t\\-t&-t&1+3t \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.5.1 若当阵的矩阵函数

a. 若当阵

$\begin{aligned} &n阶上三角A=\left( \begin{matrix} a&1&&&0\\&a&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&a \end{matrix} \right)_{n\times n},为n阶若当阵,\lambda=a为n重根，\\ &若a=0,可得n阶0根若当阵D=\left( \begin{matrix} 0&1&&&0\\&0&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&0 \end{matrix} \right)_{n\times n},\\ &可知A-aI=D=\left( \begin{matrix} 0&1&&&0\\&0&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&0 \end{matrix} \right)_{n\times n} \end{aligned}$

对于n阶0根若当阵，有

b. n阶若当阵的矩阵函数

对于n阶若当阵 $\left(\begin{matrix}a&1&&&0\\&a&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&a\end{matrix}\right)$ ，对任一解析函数 $f(x)$ 有

$\begin{aligned} &由于(A-2I)^3=0,故f(A)=\left( \begin{matrix} f(2)&f'(2)&\frac{f''(2)}{2!}\\ &f(2)&f'(2)\\ &&f(2) \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=sin(tx),f(2)=sin(2t),f'(2)=tcos(2t),f''(2)=-t^2sin(2t)\\ &\Rightarrow sin(tA)=\left( \begin{matrix} f(2)&f'(2)&\frac{f''(2)}{2!}\\ &f(2)&f'(2)\\ &&f(2) \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} sin(2t)&tcos(2t)&-\frac{t^2}{2}sin(2t)\\ &sin(2t)&tcos(2t)\\ &&sin(2t) \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} 令f(x)=e^{tx},f(A)=\left( \begin{matrix} e^{ta}&te^{ta}&\frac{t^2}{2!}e^{ta}&\cdots &\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}e^{ta}\\ &e^{ta}&te^{ta}&\cdots&\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}e^{ta}\\ &&\ddots&\ddots&\vdots\\ &&&e^{ta}&te^{ta}\\ &&&&e^{ta} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.5.2 分块阵

$\begin{aligned} &(1)A=\left( \begin{matrix} A_1&\\&A_2 \end{matrix} \right),A_1=\left( \begin{matrix} 1&1\\0&1 \end{matrix} \right),A_2=\left( \begin{matrix} 2 \end{matrix} \right),\\ &A_1为若当阵，故f(A_1)=\left( \begin{matrix} f(1)&f'(1)\\0&f(1) \end{matrix} \right),f(A_2)=(f(2)),故f(A)=\left( \begin{matrix} f(1)&f'(1)&0\\0&f(1)&0\\0&0&f(2) \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=e^{tx},\Rightarrow f'(x)=te^{tx},f(1)=e^t,f'(1)=te^{t},f(2)=e^{2t}\\ &\Rightarrow f(A)=\left( \begin{matrix} e^t&te^t&0\\0&e^t&0\\0&0&e^{2t} \end{matrix} \right),A^{100}=\left( \begin{matrix} 1&100&0\\0&1&0\\0&0&2^{100} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.6 矩阵函数求导

3.6.1 积分与求导定义

设 $m\times n$ 阶矩阵 $A(x)=\left(a_{ij}(x)\right)_{m\times n}$ 中的元素都是 x 的可导函数，则 $A(x)$ 为关于 $x$ 的求导为：

$A'(x)=\frac{dA(x)}{dx}=\left(\frac{da_{ij}(x)}{dx}\right)_{m\times n}$

设 $A(x)=\left(a_{ij}(x)\right)_{m\times n}$ 的元素在区间 $[a,b]$ 连续，在区间 $[a,b]$ 上的积分记为

$\int_a^bA(x)dx=\int_a^b\left(a_{ij}(x)dx\right)_{m\times n}$

3.6.2 运算性质

若 $A’(x)=\frac{dA(x)}{dx}\equiv 0$ $\iff$ $A(x)=D(常数矩阵)$
求和求导：设 $A(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n}$ ，$B(x)=(b_{ij}(x))_{n\times n}$ 在区间 $[a,b]$ 可到，则有 $\frac{d(A(x)+B(x))}{dx}=\frac{dA(x)}{dx}+\frac{dB(x)}{dx}=A’(x)+B’(x)$
乘积求导：
参数化：
求和积分：
积分倍乘：
N-L公式
逆阵求导：

3.6.3 讨论含参阵的求导

3.6.4 3个含参矩阵函数的求导

对于三个矩阵函数 $f(tA)=e^{tA},cos(tA),sin(tA)$ ，设方阵 $A\in C^{n\times n}$ ，则有求导公式

$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=Ae^{tA}\\ &\frac{d(sin(tA))}{dt}=Acos(tA)\\ &\frac{dcos(tA)}{dt}=-Asin(tA) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\frac{de^{-tA}}{dt}=-Ae^{-tA}\\ &\frac{d[e^{-tA}X(t)]}{dt}=X'(t)e^{-tA}-AX(t)e^{-tA} \end{aligned}$

由欧拉公式

$e^{tx}=costx+isintx,e^{-tx}=costx-isintx\\ cos(tx)=\frac{e^{itx}+e^{-itx}}{2},sin(tx)=\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}$ $\frac{dcos(tA)}{dt}=\frac{1}{2}(e^{itA}iA-iAe^{-itA})=\frac{i^2}{2i}A(e^{itA}-e^{-itA})=-\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}A=-Asin(tA)\\ \frac{dsin(tA)}{dt}=\frac{1}{2i}(e^{itA}iA+iAe^{-itA})=\frac{i}{2i}A(e^{itA}+e^{-itA})=\frac{e^{itA}+e^{-itA}}{2}A=Asin(tA)$

3.6.5 对于 $W(t)=f(tA)$ 求导

若已知 $W(t)=f(tA)$ ，两边求导 $\frac{df(tA)}{dt}=\frac{dW(t)}{dt}\Rightarrow W’(t)=Af’(tA)$

令 $t=0$ ，可得 $W’(0)=f’(0)A$

若 $W(t)=e^{tA}$ ，两边求导 $\frac{dW(t)}{dt}=\frac{d(e^{tA})}{dt} \Rightarrow W’(t)=Ae^{tA}$

令 $t=0$ ，可得 $W’(0)=A$

eg

$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=\left( \begin{matrix} (cosat)'&(-sinat)'\\(sinat)'&(cosat)' \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -asinat&-acosat\\acosat&-asinat \end{matrix} \right)\\ &令t=0,得A=\left( \begin{matrix} 0&-a\\a&0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &令e^{tA}=e^{2t}B,则(e^{tA})'=(e^{2t}B)'=2e^{2t}B+e^{2t}B'=2e^{2t}\left( \begin{matrix} 1&0&0\\t&1-t&t\\t&-t&1+t \end{matrix} \right)+e^{2t}\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\\ &=e^{2t}\left( \begin{matrix} 2&0&0\\2t+1&1-2t&2t+1\\2t+1&-2t-1&3+2t \end{matrix} \right)\\ &由于(e^{tA})'=Ae^{tA},若t=0，可得A=(e^{tA})',代入的A=\left( \begin{matrix} 2&0&0\\1&1&1\\1&-1&3 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

3.7 一阶线性常系数微分方程组

$\begin{aligned} &对于一阶线性常系数微分方程，有\left\{ \begin{aligned} \frac{dx_1(t)}{dt}&=a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)+f_1(t)\\ &\vdots\\ \frac{dx_n(t)}{dt}&=a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)+f_n(t)\\ \end{aligned} \right. ,满足x_i(t_0)=c_i,i=1,\cdots,n\\ &若令A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},\vec{c}=\left( \begin{matrix} c_1\\\vdots\\c_n \end{matrix} \right)，x(t)=\left( \begin{matrix} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{matrix} \right),f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)\\ &可表示为\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right.,其中f(t)为非齐次项\\ &若f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)=\vec{0},可得齐次微分方程，\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right. \end{aligned}$ $若\frac{dA(t)}{dt}=A'(t)\equiv 0,则A(t)\equiv 0$

3.7.1 求解齐次方程组

a. 一阶微分

$齐次方程组 \frac{dA(t)}{dt}=Ax有唯一解公式:x=e^{At}\vec{c}，即x=e^{At}x(0)$

$\begin{aligned} &(1)求e^{tA}\\ &A-I=\left( \begin{matrix} -4&4&2\\-2&2&1\\-2&2&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right)(-2,2,1),r(A-I)=1,且\lambda(A-I)=\{-1,0,0\}\Rightarrow \lambda(A)=\{0,1,1\}\\ &对于2重根\lambda_2=1,有r(A-I)=3-2=1,故A为单阵\\ &A有谱分解，A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2，令f(x)=e^{tx},f(\lambda_1)=e^{0}=1,f(\lambda_2)=e^{t\cdot1}=e^t,G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=I-A,G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=A\\ &e^{tA}=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2=G_1+e^tG_2=I-A+e^tA=I+(e^t-1)A=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\\ &(2)求齐次线性方程的解X=e^{tA}\vec{c}=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4e^t-4\\3e^t-2\\2e^t-2 \end{matrix} \right)\\ &(3)代入t=0检验,X(0)=\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\vec{c} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &令A=\left( \begin{matrix} 3&-1\\1&1 \end{matrix} \right),X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right),可写方程\frac{dX}{dt}=AX,通解公式为X=e^{tA}\vec{c},\vec{c}_{t=0}=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\\ &(1)A为行和矩阵，\lambda(A)=\{2,tr(A)-2\}=\{2,2\},A-2I=\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right),r(A-2I)=1\neq2-2=0\\ &\quad A不是单阵，(A-2I)^2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 矩阵函数为f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 令f(A)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},则e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)=e^{2t}\left[ I+t(A-2I) \right]=e^{2t}\left[ \left( \begin{matrix} 1&\\&1 \end{matrix} \right)+\begin{aligned} \left( \begin{matrix} t&-t\\t&-t \end{matrix} \right) \end{aligned} \right]=e^{2t}\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\\ &(2) 求通解X=e^{tA}C=e^{2t}\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)=e^{2t}\left( \begin{matrix} (1+t)c_1-tc_2\\tc_1+(1-t)c_2 \end{matrix} \right)\\ &\quad \left\{ \begin{aligned} &x=e^{2t}[(1+t)c_1-tc_2]\\ &y=e^{2t}[tc_1+(1-t)c_2] \end{aligned} \right.,c_1,c_2为任意常数 \end{aligned}$

二阶微分

$\begin{aligned} &令y=x'=x'(t),可写方程组\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx}{dt}=y\\ &\frac{dy}{dt}=-x \end{aligned} \right.\iff \left\{ \frac{d}{dt}\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right) \right.=\left( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right)\\ &令X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right),A=\left( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \right)\Rightarrow \frac{dX}{dt}=AX\\ &通解公式为 e^{tA}\vec{c}_{t=0},\vec{c}_{t=0}=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\Rightarrow e^{tA}=\left( \begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix} \right)\\ &可知X=e^{tA}C=\left( \begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_1cost+c_2sint\\c_2cost-c_1sint \end{matrix} \right)，故原方程通解x=c_1cost+c_2sint \end{aligned}$

$\begin{aligned} &x''=-a^2x,令\left\{ \begin{aligned} &x'=ay(t)\\ &y'(t)=-ax&(ay'(t)=-a^{2}x=x^2) \end{aligned} \right.,即\frac{dX}{dt}=AX,A=\left\{ \begin{matrix} 0&a\\-a&0 \end{matrix} \right\},X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right)\\ &通解为 X=e^{tA}C,其中e^{tA}=e^{\left( \begin{matrix} 0&at\\-at&0 \end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix} cosat&sinat\\-sinat&cosat \end{matrix} \right),设C=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\\ &X=e^{tA}C=\left( \begin{matrix} cosat&sinat\\-sinat&cosat \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} c_1cosat+c_2sinat\\ c_2cosat-c_1sinat \end{matrix} \right) \end{aligned}$