时间复杂度的简单计算方法
参考数据结构实现的黑书

1. 时间复杂度

1.1 概念

算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度

事前分析

算法采用的策略和方案
编译产生代码质量
问题的输入规模
机器执行指令的速度

将核心操作的次数与输入规模关联

1.1.1 函数渐进增长

给定两个函数 $f(n)$ 和 $g(n)$ ,如果存在一个整数 $N$ 使得对于所有 $n >N$ , $f(n)$ 总是比 $g(n)$ 大，那么称 $f(n)$ 的渐进增长快于 $g(n)$

算法函数中的常数、系数可以忽略
算法函数中最高次幂越小，算法效率越高

### 1.1.2 大O记法 > 语句总的执行次数 $T(n)$ 是关于问题规模 $n$ 的函数，进而分析 $T(n)$ 随着 $n$ 的变化情况并确定 $T(n)$ 的量级。记为 $T(n) = O(f(n))$ > > 表示随着问题规模 $n$ 的增大，算法执行时间的增长率和 $f(n)$ 的增长率相同 - $f(n)$ 表示问题规模 n 的某个函数 - 执行次数 $\iff$ 执行时间 **规则** - 用1代替运行时间中的所有常数、系数 - 在修改后的次数中，只保留高阶项 **1-100求和**

# 累加
int main(){
	int sum = 0;//执行一次
	int n = 100;//执行一次
	for(int i = 0; i < n;++i){//判断语句执行n+1次
		sum += i;//执行n次数
	}	

	printf("sum=%d",sum);
}
# 执行 2n+3 次
# 大O记法 O(n)
# -------------------------------------------
# 高斯公式
void main(){
	int sum = 0;//执行1次
	int n = 100;//执行1次
	sum = (n+1)n/2;//执行1次
	printf("sum=%d",sum);
} 
# 执行3次
# 大O记法 O(1)

#### 最坏情况 > 直接查找

int search(int num){
	int arr[] = [11,10,8,9,7,22,23,0];
	
	for(int i = 0;i < arr.length;++i){
		if(num == arr[i])
			return i;
	}

	return -1;
}

**最好情况:** - 查找的第一个数字就是期望数字—— $O(1)$ **最坏情况:** - 查找的最后一个数字，才是期望数字——$O(n)$ **平均情况:** - 任何数字查找的平均代价为 ——$O(n)$ ### 1.1.3 时间复杂度排序 $O(1)< O(logn) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)$

1.2 简单时间复杂度分析

1.2.1 非函数调用

线性阶

非嵌套线性阶，随输入规模的扩大，呈 线性增长

int sum = 0;//执行一次
int n = 100;//执行一次
for(int i = 0; i <= n;++i){//执行n+1次
	sum += i;//执行n次数
}

平方阶

二重循环嵌套

int sum = 0;
int n = 100;
for(int i = 1;i <= n;++i){//执行 n+1 次
	for (j = 1;j <= n;++j){//执行 n*(n+1) 次
		sum += i;//执行 n^2 次
	}
}

立方阶
三重循环嵌套
对数阶
对数阶，由于输入规模n的增大，不管底数多少，增长率都相同，所以忽略底数
1
2
3
4
int i=1,n=100;
while(i < n){
i = i*2;
}
循环次数：$x = log_2n$
时间复杂度：$O(logn)$
常数阶

1.2.3 函数调用

void main(){
    int n = 100;
    for(int i = 0;i < n;++i){
	    show(i);	// O(n)
    }
}

void show(int i){
    printf("%d",i);
}

void main(){
	int n = 100;
	for(int i = 0;i < n;++i){
		show(i);	//O(n^2)
	}
}

void show(int i){
	for(int j = 0;j < i;++j){		
		printf("%d",i);
	}	
}

1.3 计算方法

1.3.0 常规

for 循环
- 一次 for 循环至多是该 for 循环包含的 内语句运行次数 乘 迭代次数
嵌套的 for 循环
- 从里到外分析循环
顺序语句
- 各语句运行时间求和
if/else 语句
- 两执行函数中运行时间长的

1.3.1 循环主体中的变量参与循环条件的判断

找出主体语句中与 $T(n)$ 成正比的循环变量，将之代入条件运算

int i = 1;
while(i <= n){
	i = i*2;
}

执行次数 $t$ ，有 $2^t \leq n$ ,得 $T(n) = O(log_2n)$

int y = 5;
while((y+1)*(y+1)<=n){
	y = y+1;
}

执行次数 $t = y-5$ ,有 $y=t+5$,代入得 $t < \sqrt{n}-6$,即 T(n) = O($\sqrt{n}$)

运算时间中的对数

如果一个算法用时间 $O(1)$ 将问题的大小削减为原来的一部分，那么该算法就是$O(logN)$
如果用常数时间把问题减少一个常数，那么这种算法就是 $O(N)$

折半查找

int BinarySearch(const ElementType A[],ElementType X,int N){
	int Low,Mid,High;
	Low = 0,High = N-1;
	while(Low <= High){
		Mid = (Low+High)/2;
		if(A[Mid] < X){
			Low = Mid + 1;
		}else{
			if(A[Mid] > X){
				High = Mid-1;
			else
				return Mid; //Found
		}
	}
	return NotFound; //NotFound is defined as -1
}

分析：提供了 $O(logN)$ 以内的查找操作

欧几里得算法

定理：如果 $M > N$ ,则 $M \mbox{ mod N} < \frac{M}{2}$

unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){
	unSigned int Rem;
	while(N > 0){
		Rem = M % N;
		M = N;
		N = Rem;
	}
	return M;
}

幂运算 $O(logn)$

long int Pow(long int X,unsigned int N){
	if(N == 0)
		return 1;
	if(N == 1)
		return X;
	if(isEven(N))
		return Pow(X*X,N/2);
	else 
		return Pow(X*X,N/2) * X;
}

1.3.2 循环主体中的变量与循环条件无关

采用 归纳法 或 累计循环次数

多层循环从内到外分析，忽略单步语句、条件判断语句，只关注主体语句的执行次数

递归程序——分治策略

递归程序四条准则

基准情形：有结束条件
不断推进：每次调用都朝向基准情形推进
设计法则：假设所有的递归调用都能进行
合成效益法则：避免重复计算

“分治”策略

”分“：将大问题大致分为两大致相等的 幂次阶 子问题，用递归求解
“治”：将两个子问题的解合并到一起并可能再做些少量的附加工作（幂次阶），得到整个问题的解

主方法 ：大小为 $n$ 的原问题分成若干个大小为 $\frac{n}{b}$ 的子问题，其中 $a$ 个子问题需要求解，而 $cn^k$ 是合并各个子问题需要的工作量。此时问题可表示为：

$T(N)=\begin{cases} c & n=1\\ aT(\frac{N}{b}) + cn^k & n>1 \end{cases}$

则其时间复杂度可相应的表示为：

$T(N)=\begin{cases} O(n^{log_ba}) &a>b^k \\ O(n^klog_bn) &a=b^k \\ O(n^k) &a<b^k \end{cases}$

推导

已知

$\begin{cases} T(1) = 1 \\ T(N) = 2T(\frac{N}{2}) + O(N) \end{cases}$

1. 等号右边连续代入递归关系

$\begin{align} T(N) & = 2T(\frac{N}{2})+N \notag \\ &= 2[2T(\frac{N}{4})+\frac{N}{2}]+N \notag \\ & =2\{2[2T(\frac{N}{8})+\frac{N}{4}]+\frac{N}{2}\}+N \notag \\ & = ... \notag \\ & = 2^kT(\frac{N}{2^k}) + kN \notag \end{align}$

由 $k = logN$ 得

$T(n) = NT(1)+NlogN = Nlog(N) + N$

2. 叠缩求和

用 N 去除递归关系中的两边，不断替换

$\begin{align} \frac{T(N)}{N} &= \frac{T(\frac{N}{2})}{\frac{N}{2}} + 1 \notag \\ \notag \\ \frac{T(\frac{N}{2})}{\frac{N}{2}} &= \frac{T(\frac{N}{4})}{\frac{N}{4}} + 1 \notag \\ \notag \\ \frac{T(\frac{N}{4})}{\frac{N}{4}} &= \frac{T(\frac{N}{8})}{\frac{N}{8}} + 1 \notag \\ \notag \\ \vdots \notag \\ \vdots \notag \\ \notag \\ \frac{T(2)}{2} &= \frac{T(1)}{1} + 1\notag \\ \notag \\ \end{align}$

将等号左边的所有相相加等于右边所有项的和，结果为

$\begin{align} \frac{T(N)}{N} &= \frac{T(1)}{1} + logN \notag \\ \notag \\ &=Nlog(N) + N \notag \end{align}$

1.4 常见算法时间复杂度总结

描述	增长的数量级	说明	举例
常数级	1	普通语句	将两个数相加
对数级	$logN$	二分策略	二分查找
线性级	$N$	单层循环	找出最大元素
线性对数级	$NlogN$	分治思想	归并排序
平方级	$N^2$	双层循环	检查所有元素对
立方级	$N^3$	三层循环	检查所有三元组
指数级	$2^N$	穷举查找	检查所有子集

1.5 最大子序列和问题的解

1.5.1 遍历所有子串，对子串的子序列依次求和

int MaxSubSequenceSum(const int A[],int N){
	int ThisSum,MaxSum,i,j,k;
	MaxSum = 0;
	for(i = 0;i < N;++i){
		for(j = i;j < N;++j){//遍历所有子串
			ThisSum = 0;
			for(k = i;k <= j;++k)//当前子串的所有子序列求和
				ThisSum += A[k];
				if(ThisSum > MaxSum)
					MaxSum = ThisSum;	
		}
	}
	return MaxSum;
}

$\begin{align} \sum_{i = 0}^{N-1}{\sum_{j = i}^{N-1}{\sum_{k = i}^{j}{1}}} \notag \\ \sum_{k = i}^{j}{1} &= j-i+1 \notag \\ \sum_{j = i}^{N-1}{ j-i+1} &= \frac{(N-i+1)(N-i)}{2} \notag \\ \notag \\ \sum_{i = 0}^{N-1}{ \frac{(N-i+1)(N-i)}{2}} & = \sum_{i = 1}^{N}{ \frac{(N-i+1)(N-i)}{2}} \notag \\ \notag \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}i^2-(N+\frac{3}{2})\sum_{i=1}^{N}i + \frac{1}{2}(N^2+3N+2)\sum_{i = 1}^{N}1 \notag \\ \notag \\ &= \frac{N^3+3N^2+2N}{6} \notag \end{align}$

时间复杂度为 $O(N^3)$

1.5.2 记录中间累加量

$\sum_{k = i}^{j}{A_k} = A_j+\sum_{k = i}^{j-1}{A_k}$

int MaxSubSequenceSum(const int A[],int N){
	int ThisSum,MaxSum,i,j,k;
	
	MaxSum = 0;
	for(i = 0;i < N;++i){
		ThisSum = 0;
		for(j = i;j < N;++j){//遍历所有子串
			ThisSum += A[k];

			if(ThisSum > MaxSum){
				MaxSum = ThisSum;
			}				
	}
	return MaxSum;
}

时间复杂度为 $O(N^2)$

1.5.3 分治法

将序列分成大致相等的两部分。

最大子序列和可能在三处出现：

数据的左半部分；
- 递归求解
数据的右半部分；
- 递归求解
中间部分
- 分别求出前、后部分的最大和，相加中间部分最大和

int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right){
	int MaxLeftSum,MaxRightSum;
	int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;
	int LeftBorderSum,RightBorderSum;
	int Center,i;

	if(Left == Right){//只有一个元素
		if(A[Left] > 0)//该元素非负即为最大和
			return A[Left];
		else{
			return 0;
		}
	}
	
	Center = (Left+Right) / 2;
	MaxLeftSum = MaxSubSum(A,Left,Center);
	MaxRightSum = MaxSubSum(A,Center,Right);

	MaxLeftBorderSum = 0,LeftBorderSum = 0;
	for(i = Center;i >= Left;i--){
		LeftBorderSum += A[i];
		if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
			MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
	}

	MaxRightBorderSum = 0,RightBorderSum = 0;
	for(i = Center;i >= Left;i--){
		RightBorderSum += A[i];
		if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
			MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
	}

	return Max3(MaxLeftSum,MaxRightSum,MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum);
}

int MaxSubSequenceSum(Const A[],int N){
	return MaxSubSum(A,0,N-1);
}

$\begin{cases} T(1) = 1 \\ T(N) = 2T(N/2) + O(N) \end{cases}$

时间复杂度为 $O(NlogN)$

分治法 时间复杂度一般都是若干个代价为 $logN$ 的子问题与一个处理函数的代价和

1.5.4 最简

int MaxSubSequenceSum(const int A[],int N){
	int ThisSum,MaxSum,j;	
	ThisSum = MaxSum = 0;
		for(j = 0;j < N;++j){
			ThisSum += A[k];

			if(ThisSum > MaxSum){
				MaxSum = ThisSum;
			}else if(ThisSum < 0){
				ThisSum = 0;
			}				
	}
	return MaxSum;
}

时间复杂度为 $O(N)$

空间复杂度

算法所需的辅助空间数量级

运行过程中变量占用的空间 辅助数组
递归工作栈 递归深度

原地工作

算法所需的辅助空间为常量

AmosTian

1.时间复杂度