[TOC]
2.数据的表示与计算
2.1 bit
2.1.1 信号的编码表示
一个由自然语言描述的问题，最终必须转换为计算机内部的电路工作——电子的运动，才能得以解决
在计算机内部，电子器件控制着电子的运动：监测电压大小并做出不同的响应控制。
检测电路中的电压大小会导致电路比较复杂，但只检测电路中是否有电压则很简单，会大大减低电路复杂性
从符号层面，采用 1 表示两点间存在电压；0 表示两点之间不存在电压，即二进制表示方法
0并不变时电路中绝对不存在电压，仅代表当前0所代表的电压比1代表的电压更接近电压值0- 机内将 $2.9V$ 表示为1
计算机需要定义足够大的数值范围才能工作。由于一条电路只有两个状态（1——有电压，0——无电压），为表示更多的数值状态，可以将多条线路合并使用。
通常 $k$ bit宽度（k条线路）可以表示 $2^k$ 个不同的电路状态，每个状态为k个0和1的bit序列组合，称该序列为编码，每个编码对应一个特定的值与电路状态
2.1.2 计算机采用二进制的原因
- 可行性：二进制只有01两个状态，能标识01两种状态的电子器件很多。
- 运算简易性：二进制运算法则少，运算简单，简化硬件结构
- 有逻辑代数的理论基础：二进制0和1正好和逻辑代数的真假对应
其实除了可行性，其他性质都是因为采用了二进制才进而凸显的，不过为了应试，就附上吧
2.1.3 数据类型
数据类型定义了：
- 数值的表示方式（编码方式）
- 数值相关的操作方法
每个计算机指令集（ISA）都定义了一组数据类型及其相应的操作指令
- 数据类型的设计取决于ISA的设计要求
无符号整数
用于表示：执行次数，内存单元地址等没有大小意义，仅作为标记或计数的场景
k个bit可以表示 $2^k$ 个无符号整数（从 $0$ 到 $2^{k}-1$）
有符号整数
在实际的算术运算中，存在着大量的负数。可以将 $2^k$ 个k-bit数分为两部分，一部分表示正数，另一部分表示负数
规定 000...000 表示数值0
计算机中，表示数值的正负需要占用一bit作为符号位，有四种数值表示方法——编码方式（二进制的不同解释方式）
原码
n+1位定点(小数点)整数范围 $-2^n-1\sim2^n-1$
n+1位定点小数范围 $-1+2^{-n}\sim 1-2^{-n}$
- 字长足够，则可表示任意整数
- 不能表示任意小数，只能是2的整数次幂
- 真值0不唯一，可表示数少1
反码
真值0不唯一：+0，-0
表示数值的范围和原码相同
补码
$n+1$ 位二进制数可表示
- 定点整数 $1,\underbrace{00\cdots 00}_n.\sim 0,\underbrace{11\cdots 11}.$ ：$-2^n \sim 2^n-1$
- 定点小数 $1.\underbrace{00\cdots00}_n\sim 0.\underbrace{11\cdots11}_n$ ： $-1\sim 1-2^{-n}$
补码特点(机内码)
- 真值0的补码唯一
- 正数的补码二进制表示的无符号数，小于负数的补码表示的无符号二进制数
- 如：127：0111 1111，-1；
- 数值位1越多表示数字越大
- 0同侧编码值越大，真值越大
- 正数的2进制编码小于负数的二进制编码 1000(-8) <0111(7)
原码变为补码：从右到左，找到第一个1，其左边取反，其右边不变
- 正数补码等于原码（什么编码都不变）
- 负数补码等于原码取反加一
补码运算应满足的性质
绝对值相同但符号相反的两个数之和应为0
相邻两个码字之间相差为00…001
REPRESENTATION(value+1)=REPRESENTATION(value)+REPRESENTATION(1)
在计算机中，完成加法运算的是ALU，他是一种计算机制 ，只会对二进制数进行加法操作，而不考虑其他因素（正数、负数或加法累计效果），即 策略 由上层指定
具体运算策略见组成原理对这部分的解释
编码方式与范围
n位2进制编码
| 编码方式 | 最小值编码 | 最小值 | 最大值编码 | 最大值 | 数值范围 |
|---|---|---|---|---|---|
| 无符号定点整数 | $\underbrace{00…00}_n.$ | 0 | $\underbrace{11…11}_n.$ | $2^{n+1}-1$ | $0\le x\le 2^{n+1}-1$ |
| 无符号定点小数 | $.\underbrace{00…00}_n$ | 0 | $0.\underbrace{11…11}_n$ | $1-2^{-n}$ | $0\le x\le 1-2^{-n}$ |
| 原码定点整数 | $1,\underbrace{1…11}_{n-1}.$ | $-2^n+1$ | $0,\underbrace{1\cdots11}_{n-1}.$ | $2^n-1$ | $-2^n+1\le x \le 2^n-1$ |
| 原码定点小数 | $1.\underbrace{1…11}_{n-1}$ | $-1+2^{-n}$ | $0.\underbrace{1…11}_{n-1}$ | $1-2^{-n}$ | $-1-2^{-n}\le x \le 1-2^{-n}$ |
| 补码定点整数 | $1,\underbrace{0…00}_{n-1}.$ | $-2^n$ | $0,\underbrace{1…11}_{n-1}.$ | $2^n-1$ | $-2^n\le x \le 2^n-1$ |
| 补码定点小数 | $1.\underbrace{0…00}_{n-1}$ | $-1$ | $0.\underbrace{1…11}_{n-1}$ | $1-2^{-n}$ | $-1\le x \le 1-2^{-n}$ |
移码
真值加一个常数
- 只能表示整数
- 真值0唯一
- 二进制编码越大，所表示的数值越大
- 移码大，真值大
- 移码小，真值小
n位二进制能表示 $2^n$ 个数字
移码一般是加10…01 ，即编码表示的无符号整数减去 $2^{n}-1$
4-bit的不同编码方式
| 二进制 | 原码 | 反码 | 补码 | 移码+1001 |
|---|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 | 0 | -7 |
| 0001 | 1 | 1 | 1 | -6 |
| 0010 | 2 | 2 | 2 | -5 |
| 0011 | 3 | 3 | 3 | -4 |
| 0100 | 4 | 4 | 4 | -3 |
| 0101 | 5 | 5 | 5 | -2 |
| 0110 | 6 | 6 | 6 | -1 |
| 0111 | 7 | 7 | 7 | 0 |
| 1000 | -0 | -7 | -8 | 1 |
| 1001 | -1 | -6 | -7 | 2 |
| 1010 | -2 | -5 | -6 | 3 |
| 1011 | -3 | -4 | -5 | 4 |
| 1100 | -4 | -3 | -4 | 5 |
| 1101 | -5 | -2 | -3 | 6 |
| 1110 | -6 | -1 | -2 | 7 |
| 1111 | -7 | -0 | -1 | 8 |
2.1.4 IEEE754浮点数
浮点数可以表示很大的数值，也可以表示很小的数值，只是牺牲一些数值精度而已
符号位：1bit，表示数值的正负
数值范围：8bit，代表范围（指数，exponent）
数值精度：23bit，代表精度（位数部分，fraction）
尾数
准确的，不存在任何误差的bit的位数为精度
在IEEE中，尾数是正则化的，即小数点左边有且仅有一个非零数
在二进制下， 正则化的尾数为 1.xxxxx
即用23bit尾数就可表示24位精度
指数
8-bit的二进制数可表示255个无符号整数，在IEEE中，指数值范围为 $-126\sim 126$ ，剩余的两个指数 00000000 和 11111111 有特殊含义
指数部分为移码
- 实际的指数值等于该无符号整数减127之后的结果——相当于加
1000 0001
| 二进制 | 指数值 |
|---|---|
| 0000 0000 | 特殊含义 |
| 0000 0001 | -126 |
| …. …. | …. …. |
| 0111 1111 | 0 |
| 1000 0000 | 1 |
| …. …. | …. …. |
| 1111 1110 | 126 |
| 1111 1111 | 特殊含义 |
0000 0000 含义
表示指数值为-126，但尾数不是正规化的
- 尾数全0
0...0，则为0 - 尾数非0，则该浮点数的值为 $(-1)^s\times 0.尾数\times 2^{-126}$
1111 1111含义
- 尾数全0，无穷大
- 尾数不全为0，非数值
例
用IEEE浮点数标准表示 $-6\frac{5}{8}$
符号位为1
$\frac{5}{8}=.101$，$6=110$ ——$110.101$ 正则化后为 $1.10101\times 2^{2}$
指数部分 2+127=0000 0010+0111 1111=1000 0001
故 IEEE的浮点数表示为：1 1000 0001 101 0100 0000 0000 0000 0000
IEEE浮点数0 0111 1011 00000000000000000000000表示什么数
符号位s=0，表示整数
指数部分：0111 1011 -127 为 $123-127=-4$
尾数部分：1.0xxx0
所以该二进制数表示 $+1.0\times 2^{-4}$
2.2 进制转换
2.2.1 二转十
$a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$
8bit补码数据，最高位 $a_7$ 为符号位
为0，则直接进行第二步转换 $a’_{6}a’_{5}a’_{4}a’_{3}a’_{2}a’_{1}a’_{0}=a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$
为1，需要转换为绝对值相等的正数——取反+1
$a’_{6}a’_{5}a’_{4}a’_{3}a’_{2}a’_{1}a’_{0}=\overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0}+1$
$x=a^{‘}_6\times 2^6+a_5 \times 2^5+a_4\times 2^4+a_3 \times 2^3+a_2\times 2^2+a_1 \times 2^1+a_0\times 1$
若为负数，加上负号即可
2.2.2 十转二
将十进制数N展开为2次幂的求和
$N=a_6\times 2^6+a_5\times 2^5+a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+a_0\times 2^0$
反复执行一下操作，直至N变为0
- 如果N为奇数，则左边最低位 $a_i$ 为1。如果N为偶数，则左边最低位 $a_i$ 为0
- 即将等式两端同时减1（奇数）或0（偶数），消除最低位后，将等式两端同时除以2
每执行一次，可以求得一个 $a_i$ 的值
如果N值为正，则 $a_7$ 取值为0
如果N值为负，则最高位补0，然后求该编码的补码，完成
和手算的取余，然后逆序一样
2.2.3 二转十六
适合计算机计算且方便人阅读
一个16bit的二进制数 $a_{15}a_{14}a_{13}a_{12}a_{11}a_{10}a_{9}a_{8}a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$
其相应的无符号整数表示为
从低位到高位，每四位为一组
由于 $h_i$ 共有16种取指($0\sim 15$) ，用符号 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$ 作为 $h_i$ 的值
- 0表示 $0000$
- 1表示 $0001$
- A表示 $1010$
- F表示 $1111$
十六进制的主要好处在于方便记忆和使用。避免了因二进制数字串过长引起的誊写错误
2.3 bit运算
2.3.1 加减法
二进制加法与十进制加法相同，从右向左将两数按列对齐并依次相加；如果前列的加法产生进位，则该进位bit参加左边列的加法操作
11+3
减法理解为加负数，$A-B=A+(-B)$
14-9(01001)
加本数相当于乘2，在位运算相当于左移1为
$x+x\iff x<<1$
符号扩展
将两个长度不等的二进制相加，需要进行对齐操作——符号扩展
补码运算 (Sign Extension，简称SEXT)
- 正数前0扩展不改变原值
- 负数前1扩展不改变原值
溢出
运算结果超出编码的最大值或最小值的情况
无符号整数溢出情况：最高位发生进位
有符号整数溢出情况：
- 正数与正数相加
- 负数与负数相加
2.3.2 逻辑运算
对两个长度为 m-bit 的二进制数做逻辑运算，将两个操作数按位对齐，然后对其中每一对bit进行运算，称为按位逻辑操作
- 只影响本位，不是算术运算，所以没有进位
作用：
判断某位的取值(0/1)
- 当判断最后一位是0或是1时，可判断二进制表示数值的奇偶
取出二进制数的某一位
- 某位置为0/1
- 位取反——非运算
- 用于比较两数是否相等——异或
逻辑操作的描述方式——真值表
对于n个操作数的逻辑操作，构造
- 行数——$2^n$
- n个操作数的可能组合数为 $2^n$ 种
- 列数——$n+1$
- 前n列表示n个源操作数
- 最后一列表示该组合方式下逻辑运算的结果
的真值表
按位与
全1得1，有0得0
1 | a=0011101001101001 |
与运算作用：
位置0 ：与0
应用：计算n二进制的个数—— 每步使最低位的1变0
n=n&(n-1);count++;直至n==0减法，向最低可进位借1，改为变为0，与减1之后的数相与，可将最低可借位和低位置0，高位不变
判断某位取值 ：与1
取特定位 ：屏蔽字位：两部分组成
- 关心的位——目标位取1
- 忽略的位——其余为0
作用是将关心的位提出来——取某位
如取出8-bit数据A的低2位，其屏蔽字为 0000 0011 ，无论A取何值，与屏蔽字与的结果必然是 00000000 、00000001 、00000010 、00000011 中的一个
或运算
全0得0，有1得1
1 | a=0011101001101001 |
与运算作用：
位置1 ：或1
判断某位取值 ：或1
非运算
按位取反
1 | a=0011101001101001 |
异或运算
按位异或
异或真值表
| A | B | XOR |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
- 两个输入值不同，则输出为1
- 两个输入值相同，则输出为0
1 | a=0011101001101001 |
用于判断两个二进制数是否相同
- 若两个数相等，则异或之后为0
应用——位矢量
在复杂系统中，包含了很多独立单元，每个单元或忙或空闲。
假设存在n个单元，可以用一个 n-bit 的二进制数代表这n个单元。
- 当某个单元忙碌时，将相应的bit置1——
|0...010...0 - 当某个单元空闲时，将相应的bit置0——
&1...101...1
2.4 ASCII
用于在计算机处理单元和IO设备之间传递字符的8-bit编码标准。
键盘上每个键位一般不止对应一个ASCII码
- 通过功能键
shift切换
每次按键都会产生唯一的ASCII码
2.5 习题
2.5.1 一个n-bit二进制数可表示 $2^n$ 个不同的二进制数
2.5.2
用二进制bit串表示26个英文字母，需要 $\lceil log_226\rceil=5$ bit，区分大小需要 $2\times \lceil log_226\rceil=6$ bit
$\lceil log_2400\rceil=9$ bit
$2^9-400=112$ 个
2.5.4 给定n-bit，可表示多少无符号整数，范围多大
可表示 $2^n$ 个无符号整数，范围为 $0\sim 2^n-1$
2.5.5 用5-bit二进制串表示数值，写出7和-7的反码，符号位码和补码表示
| 原码 | 反码 | 补码 | |
|---|---|---|---|
| 7 | 00111 | 00111 | 00111 |
| -7 | 10111 | 11000 | 11001 |
2.5.6 用6-bit补码表示32
100000
2.5.7 列出4-bit二进制补码能表示的所有整数
| 补码 | 数值 |
|---|---|
| 1000 | -8 |
| 1001 | -7 |
| 1010 | -6 |
| 1011 | -5 |
| 1100 | -4 |
| 1101 | -3 |
| 1110 | -2 |
| 1111 | -1 |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
a. $2^{(8-1)}-1=2^7-1=127$ , 0111 1111
b. 可表示绝对值最大的负数为 $-2^7=-128$ ，其二进制数表示为 $1000 0000$
c. $2^{n-1}-1$
d. $-2^{n-1}$
2.5.9 如果用二进制补码方式表示摩尔常数 $6.0\times 10^{23}$ ，需要多少bit?
$2^n\ge 6\times 10^{23}\Rightarrow log_2n\ge log_2(6\times 10^{23})\Rightarrow n\ge 79$
需要1-bit作为符号位，所以共需要 80-bit
a. $1010\overset{取反+1}{=}1110=-6$
b. $2^1+2^3+2^4+2^6=64+16+8+2=90$
c. $11111110\xlongequal{取反至最低1}10000010=-2$
d. $0011100111010011=14803$
2.5.11 十进制数转为8-bit补码
a. 102=64+32+4+2=0110 0110
b. 64=0100 0000
c. 33=32+1=0010 0001
d. -128 = 1000 0000
e. 127=0111 1111
可被4整除的偶数
2.5.13 将二进制数改为8-bit数，且不允许改变原值
a. 1010——1111 1010
b. 011001——0001 1001
c. 1111111000——1111 1000
d. 01——0000 0001
2.5.14 二进制数加法
a. 1011+0001=1100
b. 0000+1010=1010
c. 1100+0011=1111
d. 0101+0110=1011
e. 1111+0001=1,0000，发生溢出
2.5.15 左移一位等价于乘2，右移一位等价于除2
a. 7的反码：0000 0111 -7的反码：1111 1000，相加为 1111 1111：-0的反码
b. 7的原码：0000 0111 -7的原码：1000 0111，相加为 1000 1110：-14
c. 7的补码：0000 0111 -7的补码：1111 1001，相加为 0000 0000：0
2.5.17 计算补码加法，并将结果转换为十进制数
a. 01+1011=0001+1011=1100：12
b. 11+01010101=0000 0011 + 0101 0101 = 0101 1000：88
c. 0101+110=0101+1110=0011：3
d. 01+10=11=-1
补码计算注意符号位扩展
2.5.18 计算无符号二进制加法，并将结果转换为十进制
a. 01+1011=1100 ：12
b. 11+01010101=1011000：88
c. 0101+110=1011 ：11
d. 01+10=11 ：3
2.5.19 将十进制数 -27 分别转换为8-bi补码，16-bit补码，32-bit补码，并阐述符号位扩展在这三种表达方式中的应用
-27的二进制形式：1110 0101 ，补码符号位扩展 16-bit 1111 1111 1110 0101 ，32-bit $\underbrace{11\cdots 11}_{24} 1110 0101$
2.5.20 4-bit补码运算溢出，改为十进制验证
a. 1100+0011=1111 ：-1，不会发生溢出
-4+3=-1
b. 1100+0100=0000 ：0，不会发生溢出
-4+4=0
c. 0111+0001=1000 ：-8，发生溢出
7+1=8
d. 1000-0001=1000+1111=0111 ：7，发生溢出
-8-1=-9
e. 0111 + 1001 = 0000 ：0，不会发生溢出
7+-7=0
2.5.21 补码相加发生溢出情况：两个正数或两个负数相加才可能发生溢出
2.5.22 两个16-bit补码相加溢出的例子
2.5.23 两个无符号整数相加会溢出的情况：最左bit发生进位是发生溢出
2.5.24 两个16-bit无符号整数相加溢出的例子
2.5.25 为什么在补码方式下负数和正数相加并不会溢出
对于正数，运算后其结果一定小于正加数
对于负数，运算后其结果一定大于负加数
a. $\lceil log_264\rceil=6$ ，需要增加1bit符号位，所以最少需要7bit
b. 最大正整数 001 1111 = 63
c. 最大无符号整数：111 1111 = 127
发生了溢出，两个正数补码相加，结果应为正数。由于发生溢出，结果为负数
2.5.28 And逻辑运算什么条件为1
2输入为1时，And逻辑运算为1
2.5.29
a. 0101 0111 & 1101 0111 = 0101 0111
b. 101 & 110 = 100
c. 1110 0000 & 1011 0100 = 1010 0000
d. 0001 1111 & 1011 0100 = 0001 0100
e. (0011 & 0110) & 1101 = 0010 & 1101 = 0000
f. 0011 & (0110 & 1101) = 0011 & 0100 = 0000
2.5.31 什么情况下OR逻辑运算为1
2.5.32
2.5.33
a. 0101 0111 | 1101 0111 = 1101 0111
b. 101 | 110 = 111
c. 1110 0000 | 1011 0100 = 1111 0100
d. 0001 1111 | 1011 0100 = 1011 1111
e. (0101 | 1100) | 1101 = 1101 | 1101 = 1101
f. 0101 | (1100 | 1101) = 0101 | 1101 = 1101
2.5.34
a. !(1011) | !(1100) = 0100 | 0011 = 0111
b. !(1000 & (1100 | 0101)) = !(1000 & 1101) = !1000 = 0111
c. !(!1101)=1101
d. (0110 | 0000) & 1111 = 0110 & 1111 = 0110
2.5.35 屏蔽字作用
修改设备状态：
- 置1：设为空闲
- 置0：设为忙碌
a. &1111 1011
b. | 0100 0100
c. &0000 0000
d. | 1111 1111
e. &0000 0100，左移5位
加法器符号位溢出判断 V=(n&m&!s) | (!n &!m&s)&1000
若V=1000，则溢出
若V=0000，则无溢出
V=n&m&1000+(n+m)&!s&1000=(n&m+(n+m)&!s)&1000
- 一定不溢出：n与m都是0xxx ，$n+m=s<2^4-1$
2.5.39 将十进制数转化为IEEE格式浮点数
a. 3.75 11.11 $1.111\times 2^1$ 尾数为 $.111 \underbrace{00\cdots0}_{20}$ ，移码为 $1+127=1000 0000$ ，符号位为0
b. $-55\frac{23}{64}=-(32+16+4+2+1+\frac{16+4+2+1}{64})=-110111.010111=-1.1011010101\times 2^{0000 0101}$
尾数为 $.101 1101 0111 \underbrace{00\cdots00}_{12}$ ，移码为 $5+127=0111 1111 +0000 0101=1000 0100$，符号为 1
c. 3.1415927
d. 64000 = 32768+16384+8192+4096+2048+512
$1111101000000000=1.111101\times 2^{0000 1111}$
尾数为 $111101\underbrace{00\cdots00}_{17}$ ，阶码为 $15+127=0000 1111+0111 1111=10001110$
2.5.40 IEEE转换为十进制数
| 编号 | 符号位 | 数符 | 阶码 | 指数 | 尾数 | 小数部分 | 二进制数 | 十进制数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | 0 | 正数 | 10000000 | 1 | $\underbrace{00\cdots 0}_{23}$ | 1.0 | $1.0\times 2^1$ | 2 |
| b | 1 | 负数 | 10000011 | 4 | $0001\underbrace{00\cdots 0}_{19}$ | 1.0001 | -$1.0001\times 2^{4}$ | -17 |
| c | 0 | . | 11111111 | . | $\underbrace{00\cdots0}_{23}$ | . | . | 无穷 |
| d | 1 | 负数 | 10000000 | 1 | $1001\underbrace{00\cdots 0}_{19}$ | 1.1001 | $1.1001\times 2^{1}$ | $-1.5625$ |
2.5.41
a. 32-bit IEEE浮点数能表示的最大数值是多少？
阶码最大为 1111 1110 ，指数最大为126，尾数最大为 $\underbrace{11\cdots1}_{23}$ ，小数部分为 $1.\underbrace{11\cdots1}_{23}$ ，其十进制数表示为 $(2-2^{-23})\times 2^{126}$
b. 32-bit IEEE 浮点数能表示的最小数值是多少？
阶码最小为 0000 0001 ,指数最小为-126，尾数最小为 $00\cdots 0$，小数部分为 $1.\underbrace{00\cdots 0}_{23}$ ，其十进制数为 $-1.0\times 2^{-126}$
ASCII码
| 字符 | 十进制数 | ASCII |
|---|---|---|
| 0 | 48 | 0011 0000 |
| 5 | 53 | 0011 0101 |
| 8 | 56 | 0011 1000 |
| A | 65 | 0100 0001 |
| Z | 90 | 0101 1010 |
| a | 97 | 0110 0001 |
| m | 109 | 0110 1101 |
| z | 122 | 0111 1010 |
a. x48656c6c6f21
x48-0100 1000-72-H
x65-0110 0101-101-e
x6c-0110 1100-108-l
x6f-0110 1111-111-o
x21-0010 0001-33-!
3的二进制数为0000 0011，其ASCII为0011 0011
假设待转换的数值为n，其二进制B表示为 $0000 0000\sim 0000 1001$ ,表示为ASCII的二进制数为A
由于 ‘0’ 的ASCII为 0110 0000，所以B转为A，只需要将高四位变为 0110 ，即ASCII码B的十进制数与数值n关系：B=n+48
2.5.45 二进制转十六进制
a. $\underbrace{1101}_{D} \underbrace{0001}_1 \underbrace{1010}_A \underbrace{1111}_F$
2.5.47 将十六进制补码转换为十进制数
a. xF0-1111 0000,其十进制数为1001 0000：-16
b. x7ff-02047111 1111 1111 ,其十进制数为2047
c. x16-0001 0110，其十进制数为16+6=22
d. x8000-1000 0000 0000 0000,其十进制数为-32768
十六进制加法，逢16进1,
a. B+E=9+16，5+D+1=3+16,6+2+1=9，结果为X2939,最高bit没有发生变号，未发生溢出
b. 6+0=6,9+A=3+16,D+0+1=E，7+F=6，由于是异号相加，所以一定不发生溢出，结果为X6E36
c. D+7=4+16，9+5+1=F，3+3=6，A+A=4+16，同号相加，符号位变号，发生溢出
d. 6+2=8,9+1=A,D+4=1+16,7+7+1=F,同号相加，符号位变号，发生溢出
逻辑运算是按位运算，必须展开为二进制
转二进制，再转16进制
a. 25675=16384+8192+1024+64+8+2+1
$\underbrace{0110}_{6} \underbrace{0100}_4 \underbrace{0100}_4 \underbrace{1011}_B$
b. 675.625=512+128+32+2+1+0.5+0.125
$10 1010 0011.101=1.010100011101\times 2^{9}=1.010100011101\times 2^{1001}$
表示为IEEE754格式，数符0，阶码9+127=128+8=1000 1000，尾数 $010100011101\underbrace{00\cdots0}_{9}$
0100 0100 0010 1000 1110 1000 0000 0000，其十六进制为X4428E800
2.5.53
$Q_1=!(A*B)=\overline{A}+\overline{B}$
$Q_2=!(!A * !B)=A+B$
2.5.54
$Q_1=!(!X+(XYZ))=X(\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z})=X\overline{Y}+X\overline{Z}$
$Q_2=\overline{(Y+Z)XYZ}=\overline{Y}\overline{Z}+\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}$
c. 023+221：3+1=0+4,2+2+1=1+4,0+2+1=3，所以310
d. 42/4=10(2),10/4=2(2),2/4=2,所以222
e. $123.3=3+24+116+\frac{3}{4}=27.75=11011.11$
1110 0101
数符1 负数
阶码1100，指数12-7=5
尾数1.101，小数1.101
$-1.101\times 2^{5}=-110100=-52$