4. 矩阵运算

矩阵上的运算：特根特向求法，张量积，广义逆

4.1 特根特向求法

4.1.1 特根求法

若 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 中 行和=常数k ，则常数 $k$ 为 $A$ 的一个特征根，全1向量 $X=\left(\begin{matrix}1\\\vdots\\1\end{matrix}\right)$ 为 $k$ 相应的特向

若 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 中 列和=常数k ，则常数 $k$ 为 $A^T$ 的一个特根，全1向量 $X=\left(\begin{matrix}1\\\vdots\\1\end{matrix}\right)$为 $A^T$ 的一个特向

$\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&2\\0&-1 \end{matrix} \right)，B=\left( \begin{matrix} 3&3&3\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1 \end{matrix} \right),可知A与B都是列和为1的矩阵，可以验证\\ &X=\left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix} \right),AX=\left( \begin{matrix} 3\\-1 \end{matrix} \right),Y=\left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix} \right)，BY=\left( \begin{matrix} 3&3&3\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\-3\\-3 \end{matrix} \right)\\ &故全一向量不是列和矩阵的特征向量\\ &而对于A^T=\left( \begin{matrix} 1&0\\2&-1 \end{matrix} \right)与B^T=\left( \begin{matrix} 3&-1&-1\\3&-1&-1\\3&-1&-1 \end{matrix} \right)为行和矩阵，全1向量为 A^T的特征向量 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &已知二阶阵A=\left( \begin{matrix} 3&1\\2&2 \end{matrix} \right)(行和阵),特根为4,tr(A)-4=1,相应特向X=\left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix} \right),Y=\left( \begin{matrix} 1\\-2 \end{matrix} \right)\\ &X，Y线性无关，所以P=\left( X,Y \right)=\left( \begin{matrix} 1&1\\1&-2 \end{matrix} \right)为可逆阵，故A可相似对角化为对角阵\\ &P^{-1}AP=D=\left( \begin{matrix} 4&0\\ 0&1 \end{matrix} \right),故可知A为单阵 \end{aligned}$

实对称阵特根为实数

4.1.2 特征向量

$若(A-\lambda_1I)P=0,则P中的列都是\lambda_1的特征向量$

证明：

$\begin{aligned} &(A-\lambda_1I)P=0\iff AP=\lambda_1 P,令P=(X_1,\cdots,X_n)，按列分块，则有\\ &A(X_1,\cdots,X_n)=\lambda_1(X_1,\cdots,X_n)\Rightarrow (AX_1,\cdots,AX_n)=(\lambda_1X_1,\cdots,\lambda_nX_n)\\ &则P中各列都是\lambda_1的特征向量 \end{aligned}$

a. 两个互异特根的特向

$若 (A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)=0,则(A-\lambda_2I)的列都是\lambda_1的特向，(A-\lambda_1I)的列是\lambda_2的特向$

eg：

$\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4 \end{matrix} \right)(为正规H单阵)，全体特征根\lambda(A)=\{5,0,0\},不同特征根为5,0\\ &由于A是单阵，必有(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)=(A-5I)(A-0I)=0\\ &其中，\lambda_1=5对应的特征向量为A中的一个列向量\left( \begin{matrix} 1\\0\\-2 \end{matrix} \right)，\\ &\lambda_2=0对应的特征向量为A-5I=\left( \begin{matrix} -4&0&-2\\0&-5&0\\-2&0&-1 \end{matrix} \right)的列向量\\ &分别为 \left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2\\0\\1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$A=\left( \begin{matrix} 1&0\\-1&0 \end{matrix} \right),A^2=A为幂等阵，则A中非0列\left( \begin{matrix} 1\\-1 \end{matrix} \right)是\lambda_1=1的特征向量$

$\begin{aligned} &A^2=\left( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \right)\cdot\left( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \right)=-I\Rightarrow A^2+I=0\iff(A-iI)(A+iI)=0\\ &故(A+iI)中列向量 \left(\begin{matrix}i\\-1\end{matrix}\right) 为i的特向，(A-iI)中列向量 \left(\begin{matrix}-i\\-1\end{matrix}\right)为-i的特向 \end{aligned}$

b. 三个互异特根的特向

$\begin{aligned} 若&(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)(A-\lambda_3I)=0,则\\ &(A-\lambda_2I)(A-\lambda_3I)中非零列为\lambda_1的特向\\ &(A-\lambda_1I)(A-\lambda_3I)中非零列为\lambda_2的特向\\ &(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)中非零列为\lambda_3的特向 \end{aligned}$

$A=\left( \begin{matrix} -1&i&0\\-i&0&-i\\0&i&-i \end{matrix} \right)，求特征向量$ $\begin{aligned} &由特征多项式计算得\lambda(A)=\{1,-1,2\}，3阶方阵有3个互异特征根，故A为单阵\\ &且有0化式(x-1)(x+1)(x-2)成立，即(A-I)(A+I)(A-2I)=0成立，\\ &可知\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2对应的特征向量\\ &分别为(A+I)(A-2I),(A-I)(A-2I),(A-I)(A+I)的列向量,即有X_1=\left( \begin{matrix} 1\\-2i\\1 \end{matrix} \right)\\ &X_2=\left( \begin{matrix} -1\\0\\1 \end{matrix} \right),X_3=\left( \begin{matrix} 1\\i\\1 \end{matrix} \right),可令U阵Q=\left( \frac{X_1}{\sqrt{6}},\frac{X_2}{\sqrt{2}},\frac{X_3}{\sqrt{3}} \right),必有Q^{-1}AQ=D=\left( \begin{matrix} 1&&\\ &-1&\\ &&-2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

c. 重根的特向

$\begin{aligned} &若(A-\lambda I)^2=0,则(A-\lambda I)中非0列都是\lambda的特向\\ &SP:若A^2=0,则A中非0列都是\lambda 的特向 \end{aligned}$

$A=\left( \begin{matrix} 2&0&0\\1&1&1\\1&-1&3 \end{matrix} \right)，其A的特向$ $\begin{aligned} &\lambda(A)=\{2,2,2\},0化式为(x-2)^3，且 (A-2I)^2=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)=0\\ &可见其特向为 \left( \begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix} \right),且三重根\lambda=2只有一个特向，所以A不是单阵 \end{aligned}$

4.1.3 交换定理与公共特征向量

a. Cayley定理

若方阵 $A$ 的特征多项式 $T(x)=\vert A-x I\vert=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n$ ，则 $T(A)=c_0I+c_1A+c_2A^2+\cdots+c_nA^n=0$

方阵A的特征多项式可分解为 $T(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)$ 满足 $T(A)=(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)\cdots(A-\lambda_nI)=0$

b. 交换定理

若方阵 $AB=BA(可交换)$ ，任取 $A$ 的特根 $X$ ，满足 $AX=\lambda_1 X$ ， $BX=t_1 X$ ，即 $X$ 是 $A$ 和 $B$ 的公共特征向量

若 $A,B$ 可交换，则存在公共特向 $X\neq 0$

证明：

$\begin{aligned} &任取A的一个根 \lambda_1与特向X\neq 0，使 AX=\lambda_1 X，设B的全体特根为\{t_1,\cdots,t_n\}\\ &由Cayley定理，T(B)=(B-t_1I)(B-t_2I)\cdots(B-t_nI)=0，则有 T(B)X=0\\ &\Rightarrow (B-t_1I)(B-t_2I)\cdots(B-t_nI)X=0\\ &1.若 (B-t_1I)X=0,则有BX=t_1X，X为A与B的公共特向\\ &2.若 (B-t_1I)X\neq 0,\\ &\quad 不妨设(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)X\neq 0,(B-t_{p+1}I)(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)X=0\\ &\quad 即 (B-t_{p+1}I)Y=0\Rightarrow BY=t_{p+1}Y,且YX\neq 0\\ &\quad AY=A(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)X\xlongequal{AB=BA}(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)AX\\ &\quad \quad\quad=(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)\lambda_1X=\lambda_1(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)X,\\ &\quad 即AY=\lambda_1Y，故Y =(B-t_pI)\cdots(B-t_1I)X为公共特向 \end{aligned}$

c. 可交换的实对称阵为单阵

若 $A，B$ 为 $n$ 阶实对称阵，且可交换 $AB=BA$ ，则存在正交阵 $Q$ ，使 $Q^{-1}AQ,Q^{-1}BQ$ 为对角阵

4.2 张量积

4.2.1 定义

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，$B=(b_{ij})_{p\times q}$ ，则称分块矩阵 $\left(\begin{matrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2n}B\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}B&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right)$ 为 $A$ 与 $B$ 的张量积，记作 $A\otimes B=(a_{ij}B)_{mp\times nq}$

$A=\left( \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right),B=\left( \begin{matrix} 2\\3 \end{matrix} \right)$ $\begin{aligned} &A\otimes B=\left( \begin{matrix} aB&bB\\cB&dB \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2a&2b\\3a&3b\\2c&2d\\3c&3d \end{matrix} \right),B\otimes A=\left( \begin{matrix} 2A\\3B \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2a&2b\\2c&2d\\3a&3b\\3c&3d \end{matrix} \right) \end{aligned}$

张量积不满足交换律 ，即 $A\otimes B\neq B\otimes A$

定理

两个上三角的张量积也是上三角
两个对角阵的张量积是对角阵
$\begin{aligned} &P^{-1}AP=A_1=\left( \begin{matrix} \lambda_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_m \end{matrix} \right),Q^{-1}BQ=\left( \begin{matrix} t_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&t_n \end{matrix} \right)\\ &(P\otimes Q)^{-1}(A\otimes B)(P\otimes Q)\xlongequal{吸收公式}(P^{-1}AP)\otimes (Q^{-1}BQ)\\ &=A_1\otimes B_1=\left( \begin{matrix} \lambda_1B_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_mB_n \end{matrix} \right) \end{aligned}$
$I_n\otimes I_m=I_{m}\otimes I_n=I_{m\times n}$

4.2.2 计算

a. 分块法

右进右出

$\left( \begin{matrix} A&B\\C&D \end{matrix} \right)\otimes F=\left( \begin{matrix} A\otimes F&B\otimes F\\C\otimes F&D\otimes F \end{matrix} \right)\\\\ (A\quad B)\otimes F=(A\otimes F\quad B\otimes F)$

一般情况下：$F \otimes (A\quad B)\neq (F\otimes A\quad F\otimes B)$

b. 向量与向量张量积

$列向量\alpha=\left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right)\beta=\left( \begin{matrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_q \end{matrix} \right),则\alpha \otimes \beta=\left( \begin{matrix} a_1\otimes \beta\\a_2\otimes \beta\\\vdots\\a_n\otimes \beta \end{matrix} \right)_{nq\times 1}=\left( \begin{matrix} a_1b_1\\a_1b_2\\\vdots\\a_1b_q\\\vdots \\a_nb_1\\a_nb_2\\\vdots\\a_nb_q \end{matrix} \right)_{nq\times 1}$

c. 向量与矩阵张量积

$列向量\alpha=\left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_m \end{matrix} \right),B_{n\times q}=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_q)，\alpha\otimes B=\left( \begin{matrix} a_1B\\a_2B\\\vdots\\a_mB \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a_1b_{11}&a_1b_{12}&\cdots&a_1b_{1q}\\ a_1b_{21}&a_1b_{22}&\cdots&a_1b_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1b_{p1}&a_1b_{p2}&\cdots&a_1b_{pq}\\ a_2b_{11}&a_2b_{12}&\cdots&a_2b_{1q}\\ a_2b_{21}&a_2b_{22}&\cdots&a_2b_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_2b_{p1}&a_2b_{p2}&\cdots&a_2b_{pq}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_mb_{11}&a_mb_{12}&\cdots&a_mb_{1q}\\ a_mb_{21}&a_mb_{22}&\cdots&a_mb_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_mb_{p1}&a_mb_{p2}&\cdots&a_mb_{pq}\\ \end{matrix} \right)_{mp\times q}$

4.2.3 运算律

数乘： $k(A\otimes B)=(kA)\otimes B=A\otimes (kB)$
分配律(右进右出)：$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$ ，$C\otimes(A+B)=C\otimes A+C\otimes B$
结合律：$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$
吸收律：$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$
$张乘(左边括号间乘法个数)\leftrightarrow 乘张(右边括号内乘法个数相等)$
推论：
$\begin{aligned} &若A=A_{m\times m}为m阶方阵,B=B_{n\times n}为n阶方阵，则\\ &(A\otimes B)^k=A^k\otimes B^k\\ &(A\otimes I_n)(I_m\otimes B)=A\otimes B\\ &(A_1\otimes B_1)(A_2\otimes B_2)\cdots(A_k\otimes B_k)=(A_1A_2\cdots A_k)\otimes (B_1\otimes B_2\cdots B_k)\\ &(A_1\otimes A_2\otimes \cdots\otimes A_k)(B_1\otimes B_2\otimes \cdots\otimes B_k)=(A_1B_1)\otimes(A_2\otimes \cdots\otimes A_k)(B_2\otimes \cdots\otimes B_k)\\ &=(A_1B_1)\otimes (A_2B_2)\otimes \cdots \otimes (A_kB_k) \end{aligned}$
eg：
$A=A_{m\times m}，证明e^{A\otimes I_n}=e^A\otimes I_n$

$\begin{aligned} &e^{A\otimes I_n}=\sum_{k=1}\limits^\infty\frac{1}{k!}(A\otimes I)^k=\sum_{k=1}\limits^\infty\frac{1}{k!}(A^k\otimes I^k)=(\sum_{k=1}\limits^\infty\frac{1}{k!}A^k)\otimes I^k=e^A\otimes I \end{aligned}$

转置与求逆公式： $\begin{aligned} &(A\otimes B)^H=A^H\otimes B^H\\ &(A\otimes B)^{-1}= A^{-1}\otimes B^{-1} \end{aligned}$
若A与B都是U阵，则 $A\otimes B$ 为U阵
秩公式：$r(A\otimes B)=r(A)r(B)$
推论：
$\begin{aligned} &若X_1、\cdots、X_p为C^m中p个线性无关的列向量，Y_1、\cdots、Y_q为C^n中q个线性无关列向量，则\\ &则pq个列向量\{X_i\otimes Y_j\}线性无关 \end{aligned}$
由于 $r(\{X\otimes Y\})=r(\{X\})r(\{Y\})$ ，张量积的秩等于两个向量组的秩的乘积，所以张量积线性无关

4.2.4 张量积行列式

设 $A=(a_{ij}) \in C^{m\times m} ，B=(b_{ij})\in C^{n\times n}$ ，则

$\begin{aligned} &tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B)\\ &\vert A\otimes B \vert=\vert A \vert^n\vert B \vert^m \end{aligned}$

证明：

$\begin{aligned} &由许尔公式，存在可逆阵P使P^{-1}AP=\left( \begin{matrix} \lambda_1&&*\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_m \end{matrix} \right)为上三角，且P\otimes I为可逆阵，构造一个新公式\\ &(P\otimes I)^{-1}A\otimes B(P\otimes I)=(P^{-1}AP)\otimes B=A_1\otimes B=\left( \begin{matrix} \lambda_1B&&&(*B)\\ &\lambda_2B&&\\ &&\ddots&\\ 0&&&\lambda_mB \end{matrix} \right)\\ &故\vert A\otimes B \vert=\vert \lambda_1^nB\vert\vert \lambda_2^nB\vert\cdots\vert \lambda_m^nB\vert^m=\vert \lambda_1^n\lambda_2^n\cdots\lambda_m^n\vert\vert B \vert^m = \vert A \vert^n\vert B\vert ^m \end{aligned}$

4.2.5 张量积特征值特征向量

a. 特征值

若 $A=A_{m\times m}$ 的特征根为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m，B=B_{n\times n}$ 的特征根为 $t_1,t_2,\cdots,t_n$

$A\otimes B$ 的全体特征根为 $mn$ 个数 $\{\lambda_it_j\}$ ，有重根
$A\otimes I_n\pm I_m\otimes B$ 是的全体特根为 $mn$ 个数 $\{\lambda_i\pm t_j\}$

b. 特征向量

设 $\{X_1,\cdots,X_p\}$ 是 $A\in C^{m\times m}$ 关于 $\lambda$ 的线性无关的特征向量, $\{Y_1,\cdots,Y_q\}$ 是 $B\in C^{n\times n}$ 关于t的线性无关的特征向量

$pq$ 个向量 $\{X_i\otimes Y_j\}$ 是 $A\otimes B$ 关于 $\lambda t$ 的特征向量
$\{X\otimes Y\}$ 是 $A\otimes I_n\pm I_m\otimes B$ 关于 $\lambda+t$ 的一个特征向量

$\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 2&2\\1&3 \end{matrix} \right)\otimes \left( \begin{matrix} 1&-1\\0&1 \end{matrix} \right)=B\otimes D,且B为行和等矩阵，D为上三角阵，则\lambda(A)=\{4,tr(A)-4\}=\{4,1\},\lambda(B)=\{1,1\}\\ &\therefore A\otimes B=\prod\lambda_A\lambda_B=\{4,4,1,1\},特式\vert \lambda I-A\vert=(\lambda-4)^2(\lambda-1)^2\\ &可知，\left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -2\\1 \end{matrix} \right)是B的特征向量，\left( \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix} \right)是D的特征向朗,故A\otimes B的特征向量为\left( \begin{matrix} 1\\0\\1\\0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} -2\\0\\1\\0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

c. 矩阵函数的特根特向

设 A 和 B 分别是 m 阶与 n 阶方阵， $f(x,y)$ 是二元多项式， $f(x,y)=\sum_{i,j=1}\limits^pc_{ij}x^iy^j$

定义 mn 阶矩阵 $f(A,B)$ 如下：

$f(A,B)=\sum_{i,j=1}\limits^pc_{ij}A^i\otimes B^j,(A^0=I_m,B^0=I_n)$

4.3 矩阵拉直

4.3.1 定义

按行拉直：设矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，其按行拉直向量为一个列向量 $\vec{A}=\left(a_{11},\cdots,a_{1n},\cdots,a_{m1},\cdots,a_{mn}\right)^T$

引理：设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，记 $A$ 的 $m$ 个行分块为 $A_1,\cdots,A_m$ ，则有 $A=\left(\begin{matrix}A_1\\\vdots\\A_m\end{matrix}\right)$ ，则 $\vec{A}=\left(\begin{matrix}A_1^T\\\vdots\\A_m^T\end{matrix}\right)$

按行拉直：按行分块，列向量

4.3.2 拉直性质

线性性质：

$\overrightarrow{A+B}=\vec{A}+\vec{B}$
$\overrightarrow{kA}=k\vec{A}$

$X=X(t)\in C^{m\times n}$ ，则 $\frac{\overrightarrow{dX}}{dt}=\frac{d}{dt}\vec{X}$

拉直三项公式

$\overrightarrow{ABC}=(A\otimes C^T)\vec{B}$
在方程组中为 $\overrightarrow{AXB}=(A\otimes B^T)\vec{X}$

乘积推广：两项拉直可以看做特殊三项拉直

设 $A=(a_{ij})_{m\times m},X=(x_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times n}$

$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{AXI_n}=(A\otimes I_n)\vec{X}\\ \overrightarrow{XB}=\overrightarrow{I_mXB}=(I_m\otimes B^T)\vec{X}\\ \overrightarrow{AX+XB}=(\overrightarrow{AXI_n}+\overrightarrow{I_mXB})=(A\otimes I_n+I_m\otimes B^T)\vec{X}$

4.3.3 应用——矩阵方程AXB=C有解判定

见：6.2 矩阵方程求解

4.4 加号逆

4.4.1 定义

若 $m\times n$ 矩阵 $A=A_{m\times n}$ 与矩阵 $X=X_{n\times m}$ 满足四个条件

$AXA=A$
$XAX=X$
$(AX)^H=AX$
$(XA)^H=XA$

则 $X$ 为 $A$ 的加号逆(广义逆)，记为 $X=A^+$

a. 性质

$A$ 与 $A^+$ 互为加号逆
$A^{+}$ 具有唯一性
$\begin{aligned} &证明：(反证法)\\ &假设X，Y都满足四个条件,有AXA=A,XAX=X,(AX)^H=AX,(AY)^H=AY,\\ &AYA=A,YAY=Y,(AY)^H=AY,(YA)^H=YA\\ &有X=XAX\xlongequal{A=AYA(替换右侧X)}XAYAX=X(AY)^H(AX)^H=X[(AX)(AY)]^H\\ &\xlongequal{AXA=A}X(AY)^H=XAY\xlongequal{AYA=A(消去左侧X)}XAYAY=(XA)^H(YA)^HY=\\ &[(YA)(XA)]^HA=(YA)^HY=Y\\ &故可得A^+具有唯一性 \end{aligned}$
$A^+$ 的H穿脱公式：$(A^H)^+=(A^+)^H$
乘积的加号逆无穿脱公式：$(AB)^+\neq B^+A^+$

b. 特殊矩阵的加号逆

$A=0$ ，则 $A^{+}=0$
若方阵 $A=A_{n\times n}$ 可逆 ($\vert A \vert\neq 0$) ，则 $A^+=A^{-1}$
若 $A=(a)$ 为1阶阵，即 $A=(复数a)$ ，则有 $(a)^+=a^+=\left\{\begin{aligned}a^{-1},&a\neq 0\\0,&a=0\end{aligned}\right.$
对角阵 $D=\left(\begin{matrix}a_1&&&\\&a_2&&\\&&\ddots\\&&&a_n\end{matrix}\right)$ ，则 $D^+=\left(\begin{matrix}a_1^+&&&\\&a_2^+&&\\&&\ddots\\&&&a_n^+\end{matrix}\right)$
eg：
$D^+D=DD^+$ ，且 $(D^+)^k=(D^k)^+$ ，(k=1,2,…)
证明：
A为Hermite幂等阵，即 $A^H=A=A^2$ ，则 $A^+=A=A^H$
若A为列优阵($A^HA=I$) ，则 $A^+=A^H$
$\begin{aligned} &证明:由于 A 是列半U阵，则 A^HA=I\\ &A^HAA^H=A^H,AA^HA=A,(A^HA)^H=I=A^HA,(AA^H)^H=AA^H \end{aligned}$
若 $A^H$ 为列优阵(A为行优阵)($AA^H=I$) ，则 $A^+=A^H$
$\begin{aligned} &证明:由于 A 是行半U阵，则 AA^H=I\\ &A^HAA^H=A^H,AA^HA=A,(A^HA)^H=A^HA,(AA^H)^H=I=AA^H \end{aligned}$
若A为U阵(单位正交阵)，则 $A^+=A^H=A^{-1}$
若A为U阵，则 $A^HA=AA^H=I,A^H=A^{-1}$
$A^HAA^H=A^H,AA^HA=A,(AA^H)^H=I=AA^H,(A^HA)^H=A^HA$ ，故 $A^+=A^H$
若A为单阵(可相似对角化)且可逆，则有谱分解 $A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k$ 且 $A^+=\lambda_1^{-1}G_1+\cdots+\lambda_k^{-1}G_k$
若不满足可逆条件，则未必成立
若A为正规阵(正规方阵)，则 $A^+$ 也为正规阵
有正规分解 $A=QDQ^H$ ，则 $A^+=QD^+Q^H$
有谱分解 $A=\lambda_1^+G_1+\cdots+\lambda_k^+G_k$

c. $AA^+$ 与 $A^+A$ 相关结论

$AA^+$ 与 $A^+A$ 都是Hermite阵
幂等性
$(A^+A)^2=A^+A,(AA^+)^2=AA^+$
$(I-A^+A)^2=I-A^+A$
- $r(I-A^+A)=n-r(A^+A)=n-r(A)$
- $r(I-AA^+)=r(A)$
$r(A^+A)=r(AA^+)=r(A)=tr(AA^+)=tr(A^+A)$
由于矩阵的秩越乘越小，则 $r(AA^+)\le r(A)$ 而 $A=AA^+A$ ，则 $r(A)\le r(AA^+)$ ，故有 $r(AA^+)\le r(A)\le r(AA^+)$
幂等性：$(AA^+)^2=AA^+$ ，$(A^+A)^2=A^+A$
$\begin{aligned} &(1)A=\left( \begin{matrix}1&0\\2&1 \end{matrix} \right)为可逆阵，则A^+=A^{-1}=\left( \begin{matrix}1&0\\-2&1 \end{matrix} \right),A=\left( \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right)=\frac{1}{\vert A\vert}\left( \begin{matrix} d&-b\\-c&a \end{matrix} \right)\\ &(2)(3)(4)中A为对角阵 \end{aligned}$
$\lambda(AA^+)$ 与 $\lambda(A^+A)$ 都有 $r(A)$ 个1
设 $A\in C^{m,n},A^+\in C^{n,m}$ 由于 $AA^+$ 与 $A^+A$ 都是 Hermite 阵，且 $A^+A$ 是幂等阵， $(AA^+)^2=AA^+,(A^+A)^2=A^+A$ ，由Cayley定理 $x^2=x$ 则其0化式为 $x^2-x=0$ ，$AA^+$ 有两个不同的根1和0
已知 $r(A^+A)=r(AA^+)=r(A)=r$ ，
则 $AA^+$ 有r个正根，m-r 个0根;$A^+A$ 有r个正根，n-r 个0根
$A^+A$ 与 $AA^+$ 都是半正定阵 ($AA^+ \ge 0,A^+A\ge 0$)
已知 $A^+A$ 为幂等阵，则 $(AA^+)^2=(AA^+)^H(AA^+)\xlongequal{P=AA^+}P^HP\ge 0$ ，故 $AA^+$ 为半正定阵，同理 $AA+$ 为半正定阵
由Cayley定理，$x^2=x$ ，则0化式 $x(x-1)=0$ ，故特根 $\ge$ 0 ，为半正定阵
一般有 $AA^+\neq I$ , $A^+A\neq I$ （列半U以上）, 且 $AA^+\neq A^+A$ (正规阵)
若 A 为正规阵，则 $A^+A=AA^+$ ，且 $(A^+)^k=(A^k)^+,k=0,1,2,\cdots$
$\begin{aligned} &由于A是正规阵，则AA^H=A^HA,A有正规分解A=QDQ^H=Q\left( \begin{matrix} \lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n \end{matrix} \right)Q^H,其中Q为U阵\Rightarrow \\ &\Rightarrow A^+=(QDQ^H)^+=(Q^H)^+D^+Q^+\xlongequal{Q^+=Q^H}QD^+Q^H,\\ &\Rightarrow (A^+)^k=(QD^+Q^H)^k=Q(D^+)^kQ^H=Q(D^k)^+Q^H=(A^k)^+\\ &且A^+A=(QD^+Q^H)QDQ^H=(QD^+DQ^H)=QDD^+Q^H=(QDQ^H)(QD^+Q^H)=AA^+ \end{aligned}$

4.4.2 $A^+$ 计算

a. 秩1阵

$\begin{matrix} 若A=(a_{ij})_{m\times n},r(A)=1,则A^+=\frac{1}{\sum \vert a_{ij}\vert^2}A^H=\frac{1}{tr(A^HA)}A^H \end{matrix}$

$A^HA$ 的相关结论：

$tr(A^HA)=t(AA^H)=\sum\vert a_{ij}\vert^2=\Vert A \Vert_F^2$
$r(A^HA)=r(AA^H)=r(A)$
$A^HA,AA^H$ 为半正定阵

证明：

$\begin{aligned} &由于r(A)=1,则A^HA优相似与对角阵D=\left( \begin{matrix} \lambda_1&&&\\&0&\\&&\ddots&\\&&&0 \end{matrix} \right)，其中\sqrt{\lambda_1} 为正奇值\Rightarrow\\ &tr(A^HA)=tr(AA^H)=\lambda_1=\sum\vert a_{ij}\vert^2,则A的正SVD为A=P\Delta Q^H=P\left(\sqrt{\lambda_1}\right)Q^H,其中P^HP=Q^HQ=I\\ &A^H=Q\Delta P^H=Q(\sqrt{\lambda_1})P^H,A^+=Q\Delta^{-1}P^H=Q(\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}})P^H\\ &\Rightarrow A^+=\frac{1} {(\sqrt{\lambda_1})^2}Q(\sqrt{\lambda_1})P^H=\frac{1}{(\sqrt{\lambda_1})^2}Q\Delta P^H=\frac{1}{(\sqrt{\lambda_1})^2}A^H=\frac{1}{tr(A^HA)}A^H=\frac{1}{\sum \vert a_{ij}\vert^2}A^H\\ \end{aligned}$

eg：

b. 正奇分解求逆(第一公式)

$\begin{aligned} &若A=A_{m\times n} 有正SVD，A=P\Delta Q^H,\Delta=\left( \begin{matrix} s_1&&\\&\ddots&\\&&s_r \end{matrix} \right)>0,，其中P，Q为半U阵，P^HP=I_r=Q^HQ\\ &则有公式A^+=Q\Delta^{-1}P^H,其中 \Delta^{-1}=\Delta^{+} \end{aligned}$

由 $A^+$ 的正奇公式，可证 逆的H穿脱公式 $(A^H)^+=(A^+)^H$

$A^+$ 的正奇值为 $\{s_1^{-1},s_2^{-1},\cdots,s_r^{-1}\}$ ，且有公式 $\Vert A^+\Vert_F=\sqrt{s_1^{-2},\cdots,s_r^{-2}}$ ，$\Vert A^+\Vert_2=s_r^{-1}$

证明：

$\begin{aligned} &A=P\Delta Q^H\Rightarrow A^H=Q\Delta P^H为A^H的正SVD\\ &A^+=Q\Delta^{-1}P^H,(A^H)^+=P\Delta^{-1}Q^H\Rightarrow (A^+)^H=P\Delta^{-1}Q^H=(A^H)^+ \end{aligned}$

$\begin{aligned} &(1)求正奇值，A^HA=\left( \begin{matrix} 1&0&2\\0&1&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1\\2&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5&0\\0&1 \end{matrix} \right),\lambda(A)=\{5,1\},正奇值为\sqrt{5},1,令\Delta=\left( \begin{matrix} \sqrt{5} & 0\\0&1 \end{matrix} \right)\\ &(2)SVD，Q=(q_1,q_2)=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right),P=\left( \begin{matrix} \frac{Aq_1}{\vert Aq_1\vert},\frac{Aq_2}{\vert Aq_2\vert} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&0\\0&1\\\frac{2}{\sqrt{5}}&0\\ \end{matrix} \right),A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&0\\0&1\\\frac{2}{\sqrt{5}}&0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{5} & 0\\0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)^H\\ &(3)A^+=Q\Delta^{-1}P^H=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{matrix} 1&0\\0&\sqrt{5} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&0&\frac{2}{\sqrt{5}}\\0&1&0\\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&0\\0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&0&\frac{2}{\sqrt{5}}\\0&1&0\\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{5}&0&\frac{2}{5}\\ 0&1&0 \end{matrix} \right)\\ &(4)\because B=A^H,则B^+=(A^H)^+=(A^+)^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{5}&0\\0&1\\\frac{2}{5}&0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &A^HA=\left( \begin{matrix} 2&1\\1&2 \end{matrix} \right),\lambda(A^HA)=\{3,1\},正奇值S^+=\{\sqrt{3},1\},故A^HA优相似与\Delta=\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&0\\0&1 \end{matrix} \right),\\ &\lambda_1=3的特根q_1=\left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix} \right),\lambda_2=1的特根为q_2=\left( \begin{matrix} 1\\-1 \end{matrix} \right),\\ &Q=(q_1,q_2)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right),P=\left(\frac{Aq_1}{\vert Aq_1 \vert},\frac{Aq_2}{\vert Aq_2 \vert}\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix} \right),\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} 1\\-1\\0 \end{matrix} \right) \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \end{matrix} \right)\\ &A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&0\\0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\\ &A^+=Q\Delta^{-1}P^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&0\\0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{6}=\left( \begin{matrix} 4&-2&2\\-2&4&2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

c. 优分解求逆公式

$\begin{aligned} &设P,Q为优阵，则 (PDQ)^+=Q^HD^+P^H=Q^HDP^H \end{aligned}$

引理：若 $D=\left(\begin{matrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{matrix}\right)$ 为对角阵，则 $D^+D=DD^+$ ，且 $(D^+)^k=(D^k)^+$ ，(k=1,2,…)

d. QR分解求逆公式

$\begin{aligned} &设A=A_{m\times p}为高阵，且有QR分解，A=QR，Q为列U阵，R=R_{p\times p},则A^+=R^{-1}Q^H \end{aligned}$

$\begin{aligned} &(1)求A的QR分解，令\beta_1=\left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix} \right),\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=\left( \begin{matrix} 2\\0\\-1 \end{matrix} \right),Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{matrix} 1&2\\0&0\\2&-1 \end{matrix} \right)\\ &\quad R=Q^HA=\sqrt{5}\left( \begin{matrix} 1&1\\0&1 \end{matrix} \right)\Rightarrow A=QR=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{matrix} 1&2\\0&0\\2&-1 \end{matrix} \right)\sqrt{5}\left( \begin{matrix} 1&1\\0&1 \end{matrix} \right)\\ &(2)A^+=(QR)^+=R^+Q^+=R^{-1}Q^H=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{matrix} 1&-1\\0&1 \end{matrix} \right)\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{matrix} 1&0&2\\2&0&-1 \end{matrix} \right)=\frac{1}{5}\left( \begin{matrix} -1&0&3\\ 2&0&-1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

e. 单阵求逆

若A为单阵不可逆，则不能用谱分解方式求逆

$\begin{aligned} &tr(A)=1,故A^+=\frac{1}{2}A^H=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0\\1&0 \end{matrix} \right)\\ &A的特征多项式为 \vert A-\lambda I\vert=\lambda(1-\lambda)\Rightarrow \lambda(A)=\{1,0\},G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\left( \begin{matrix} 1&1\\0&0 \end{matrix} \right)\\ &A有谱分解A=G_1,A^+\neq A,故对于不可逆的单阵，A^+\neq \lambda_1^{-1}G_1+\cdots+\lambda_k^{-1}G_k \end{aligned}$

若A为单阵且可逆，则有谱分解 $A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k$ 且 $A^+=\lambda_1^{-1}G_1+\cdots+\lambda_k^{-1}G_k$

$\begin{aligned} &A为行和阵，\lambda(A)=\{4,1\},G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 1&2\\1&2 \end{matrix} \right),G_2=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 2&-2\\-1&1 \end{matrix} \right),A=4G_1+G_2\\ &r(A)=2，则A可逆，故\Rightarrow A^+=A^{-1}=\frac{1}{3}G_1+G_2=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix} 3&-2\\-1&2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

正规阵谱分解

$\begin{aligned} &若A为正规阵，且有谱分解：A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k,则有 A^+=\lambda_1^+G_1+\lambda_2^+G_2+\cdots+\lambda_k^+G_k \end{aligned}$

$\begin{aligned} &(1)求A的谱分解：\\ &\quad A有特征多项式 \vert A-\lambda I \vert=\left| \begin{matrix} 2-\lambda&1-i\\1+i&1-\lambda \end{matrix} \right|=(2-\lambda)(1-\lambda)-2=\lambda(\lambda-3)\Rightarrow \lambda(A)=\{3,0\}\\ &\quad G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 2&1-i\\1+i&1 \end{matrix} \right),G_2=I-G_1=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 1&1-i\\-1-i&2 \end{matrix} \right)\\ &\quad 可得谱分解 A=3G_1+0G_2\\ &(2)A^+=3^+G_1=\frac{1}{3}G_1=\frac{1}{9}\left( \begin{matrix} 2&1-i\\1+i&1 \end{matrix} \right)\\ &验证：\\ &\quad (1-i)r_2=r_1，即A为秩1公式，故有A^+=\frac{1}{\sum\vert a_{ij}\vert^2}\left( \begin{matrix} 2&1+i\\1-i&1 \end{matrix} \right)=\frac{1}{9}\left( \begin{matrix} 2&1-i\\1+i&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

f. 高低阵求逆及高低分解求逆公式

引理

高低阵引理：

高低阵消去性质：

Hermite性质：

高低阵求逆

$\begin{aligned} &高阵公式：若A=A_{m\times r} 为列满秩阵(高阵)，则有加号逆 A^+=(A^HA)^{-1}A^H,且A^+A=I\\ &低阵公式：若A=A_{r\times n} 为行满秩阵(低阵)，则有加号逆 A^+=A^H(AA^H)^{-1},且AA^+=I \end{aligned}$

$\begin{aligned} &由高阵公式：A^+=(A^HA)^{-1}A^H,计算可得 A^HA=\left( \begin{matrix} 2&0\\0&1 \end{matrix} \right),(A^HA)^{-1}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0\\0&2 \end{matrix} \right),\\ &可得A^+=(A^HA)^{-1}A^H=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0\\0&2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0&1\\0&1&0 \end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0&1\\0&2&0 \end{matrix} \right),可验证\\ &A^+A=I \end{aligned}$

$\begin{aligned} &由于B=A^H,则B^+=(A^H)^+=(A^+)^H=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0\\0&2\\1&0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &由低阵公式A^+=A^H(AA^H)^{-1},AA^H=\left( \begin{matrix} 2&1\\1&2 \end{matrix} \right),(AA^H)^{-1}=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 2&-1\\-1&2 \end{matrix} \right)\\ &A^+=A^H(AA^H)^{-1}=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 1&1\\-1&2\\2&-1 \end{matrix} \right)\\ &由于B=A^H,B^+=(A^H)^+=(A^+)^H=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 1&-1&2\\1&2&-1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$A^+$ 第二公式（高低分解求逆公式）

$\begin{aligned} &若有高低分解 A=BC，则有公式：A^+=C^+B^+,其中B^+=(B^HB)^{-1}B^H,C^+=A^H(AA^H)^{-1}\\ &且有B^+B=I,CC^+=I \end{aligned}$

注

$(BC)^+$ 一般不成立，只有在高低分解时才成立

$\begin{aligned} &\because A=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&-1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right),故选第1,2列作为高阵，B=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1\\1&0\\2&1 \end{matrix} \right),C=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&-1 \end{matrix} \right),A=BC(高低分解)\\ &(B^HB)^{-1}=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix} 1&-1\\-1&3 \end{matrix} \right),(CC^H)^{-1}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 2&0\\0&1 \end{matrix} \right),\\ &B^+=(B^HB)^{-1}B^H=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix} 1&-1\\-1&3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0&1&2\\0&1&0&1 \end{matrix} \right)=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix} 1&0&1&1\\-1&3&-1&1 \end{matrix} \right),\\ &C^+=C^H(CC^H)^{-1}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 2&0\\0&1\\0&-1 \end{matrix} \right),\\ &A=C^+B^+=\frac{1}{8}\left( \begin{matrix} 2&-2&2&2\\-1&3&-1&1\\1&-3&1&-1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

g. 张量分解公式

$(A\otimes B)^+=A^+\otimes B^+$

h. 分块求逆公式

$\left( \begin{matrix} A\\0 \end{matrix} \right)^+=\left(A^+,0\right),(A,0)^+=\left( \begin{matrix} A^+,0 \end{matrix} \right)\\ \left( \begin{matrix} A_1&0\\0&A_2 \end{matrix} \right)^+=\left( \begin{matrix} A_1^+&0\\0&A_2^+ \end{matrix} \right)\\ \left( \begin{matrix} 0&A_1\\A_2&0 \end{matrix} \right)^+=\left( \begin{matrix} 0&A_1^+\\A_2^+&0 \end{matrix} \right)\\ \left( \begin{matrix} A\\A\\A \end{matrix} \right)^+=\frac{1}{3}\left(A^+,A^+,A^+\right)\\ (A,A,A)^+=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} A^+\\A^+\\A^+ \end{matrix} \right)\\ \left( \begin{matrix} A&A\\A&A \end{matrix} \right)^+=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix} A^+&A^+\\A^+&A^+ \end{matrix} \right)$

$\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} D\\0 \end{matrix} \right),D为低阵，D^+=D^H(DD^H)^{-1}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&0\\0&2\\1&0 \end{matrix} \right),A^+=\left( \begin{matrix} D^+&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}&0&0\\0&1&0\\\frac{1}{2}&0&0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

i. 第三公式(分步求逆)

$A^+=(A^HA)^+A^H$

应用

4.5 减号逆

若 $A=A_{m\times n}$ 与 $X=X_{n\times m}$ ，有 $AXA=A$ ，则称 $X=X_{n\times m}$ 为A的减号逆(一号逆)，记为 $X=A^{-}=A^{(1)}$

全体 $A^{-}$ 的集合记为 $A^{\{1\}}=\{X\mid AXA=A\}$

$A^{-}\in A^{\{1\}}$

4.5.1 性质

a. 自反性

$AA^{-}A=A$

b. $A^-A$ 为幂等阵

$(A^{-}A)^2=A^{-}A$ ， $(AA^{-})^2=AA^{-}$

$证明：\because (A^-A)^2=A^-AA^-A=A^-A\Rightarrow A^-A为幂等阵$

秩迹公式

$r(A)=r(A^-A)=r(AA^-)=tr(AA^-)=tr(A^-A)$

$\begin{aligned} 证明： &r(A^-A)\le r(A),且A=AA^-A\Rightarrow r(A)=r(AA^-A)\le r(A^-A)\le r(A)\\ &故r(A)=r(A^-A)，同理，r(AA^-)=r(A)\\ &A^2=A\overset{x^2=x}{\Longrightarrow} \lambda=1或0,且A为单阵 \Rightarrow A\sim\Lambda=\left(\begin{matrix}\left(\begin{matrix}1&&&\\&1&&\\&&\ddots&\\&&&1\end{matrix}\right)&&\\&0&\\&&\ddots\end{matrix}\right)\\ &\therefore tr(A)=r(A)=r(A^-A)=r(AA^-)=tr(AA^-)=tr(A^-A) \end{aligned}$

$(I-A^-A)^2=I-A^-A$

$r(I-A^-A)=n-r(A^-A)=n-r(A)$
$r(I-AA^-)=r(A)$

c. $A^{-}$ 不唯一

如 $A=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ ，可取 X=(1 0) 或 Y=(1 1) 作为A的减号逆
$A^{-}$ 唯一的阵：方阵$A_{n\times n}$可逆，则必有唯一 $A^{-1}=A^{+}=A^-$

d. 满秩乘积为单位阵

若 $A=A_{m\times n}$ 为列满秩（高阵），则 $A^-A=I_n$ ；若 $A$ 为行满秩（低阵），则 $AA^-=I_m$

4.5.2 计算

a. 求解$AXA=A$

求解减号逆 $A{-}$ 即求解 $AXA=A$ 的全体通解

$\begin{aligned} &由矩阵方程AXB=D的特解X_0=A^+=\left(1,0,0\right),故通解为A^-=X=X_0+Y-A^+AYAA^+\\ &=\left(1，0，0\right)+\left(\begin{matrix}a，b，c\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}a，0，0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1，b，c\end{matrix}\right) \end{aligned}$

也可见 $A^-$ 不唯一

对于高阶阵 $A^-=A^++(Y-A^+AYAA^+)$ 的计算比较复杂

b. 标准对角形

若 $A=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}$ ，则全体 $A^-=\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}$ ，BCD为任一小块

若 $PAQ=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}$ ，全体 $A^{-}=Q\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}P$ ，BCD为任一小块

c. 初等行，列变换（一般方法）

设 $A=A_{m\times n}$ ，令 $\left(\begin{array}{c:c}A&I_m\\\hdashline I_n&0\end{array}\right)\xrightarrow[列变换]{行变换}\left(\begin{array}{c:c}\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}&P\\\hdashline Q&0\end{array}\right)$ ，则有 $A^-=Q\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}P$

4.5.3 矩阵方程求解

前置知识：正规方程求解

a. 特解

b. 解空间

$N(A)$ 或 $AY=0$ 的通解为 $Y=(I_n-A^-A)y$ ，$\forall y\in C^n$

$N(A)=\{Y\vert AY=0\}$ ，$X=(I_n-A^-A)y,y=\left(\begin{matrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{matrix}\right)\in C^n$

设y的值域为 R，则 $N(A)=R(I_n-A^-A)$ ，维数 $dim N(A)=n-r(A^-A)$